Dos circunferencias tangentes

Examinemos cómo están dispuestas las circunferencias $x^2 + y^2 = 1$ y $(x - 3)^2 + y^2 = 4$. Sus centros son $(0, 0)$ y $(3, 0)$ con radios $1$ y $2$, así que la distancia entre los centros es $3$, igual a la suma de los radios.

Tangencia exterior

Cuando la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios, las dos circunferencias comparten exactamente un punto por fuera. El punto de tangencia está sobre el segmento que une los centros, a distancia $1$ del origen en dirección a $(3, 0)$, es decir, en $(1, 0)$.

El álgebra lo confirma

Restar una ecuación de la otra elimina los términos cuadráticos y deja $6x - 6 = 0$, es decir, $x = 1$. Al sustituir resulta $y^2 = 0$, de modo que $y = 0$ llega como raíz doble. Dos puntos comunes se han fundido en uno: así es como se ve la tangencia en el álgebra, igual que un discriminante nulo señala una recta tangente a una parábola.

La recta $x = 1$, que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta que une los centros, es la tangente común de las dos circunferencias. Como la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, una sola recta sirve de tangente a las dos.

Tangencia interior

Además de la tangencia exterior existe la interior, en la que la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios y una circunferencia toca a la otra desde dentro. Tomemos la circunferencia de centro $(1, 0)$ y radio $2$ frente a la circunferencia unidad: los centros distan $1$ y los radios difieren en $1$, así que se tocan desde dentro en el único punto $(-1, 0)$.

Cinco casos

Con $d$ la distancia entre los centros y $r_1, r_2$ los radios, la relación cae en cinco casos¹.

El mérito de esta lista es que los centros y los radios zanjan la cuestión antes de resolver ecuación alguna.

El punto grande señala el punto de tangencia exterior.

1. Tangent lines to circles, Wikipedia