El valor medio de una función

La media de una cantidad finita de números es su suma dividida por cuántos son; la media de una función es su integral dividida por la longitud del intervalo. Hallamos el valor medio de $f(x) = x^2$ en $0 \leq x \leq 2$ .

\frac{1}{2 - 0} \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

El valor medio es $\dfrac{4}{3} \approx 1.333$ . Los valores de $f$ van de $0$ a $4$ pero, allanados, dan esta altura.

Sustituirla por un rectángulo

La operación sustituye la región por un rectángulo de la misma área.

Figura	Dimensiones	Área
Bajo la parábola	el intervalo $[0, 2]$	$\dfrac{8}{3}$
Rectángulo	anchura $2$ , altura $\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{8}{3}$

Las crestas y los valles de la curva se compensan exactamente a esa altura.

El punto donde se alcanza la media

Resolver $c^2 = \dfrac{4}{3}$ da $c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$ , dentro del intervalo. Que siempre exista tal $c$ es el teorema del valor medio para integrales¹.

f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx

Para una función continua la media queda entre el mínimo y el máximo, y todo valor intermedio se alcanza, así que la propia media se alcanza en algún punto.

Cambia con el intervalo

Intervalo	Valor medio
$0 \leq x \leq 1$	$\dfrac{1}{3}$
$1 \leq x \leq 2$	$\dfrac{7}{3}$
$0 \leq x \leq 2$	$\dfrac{4}{3}$

Promediar los dos primeros devuelve $\dfrac{4}{3}$ . Cuando un intervalo se parte en trozos de igual longitud, la media de las medias es la media original.

Aplicaciones

Integrar una velocidad en el tiempo y dividir por el tiempo da la velocidad media
El valor eficaz de una corriente sale de la media de su cuadrado
Un valor representativo obtenido al allanar unas medidas

La parábola de la gráfica es $y = x^2$ , la recta horizontal es el valor medio $y = \dfrac{4}{3}$ , y los puntos grandes son los dos extremos del intervalo junto con el punto donde se alcanza la media.

Mean value theorem, Wikipedia