Máximo y mínimo de una función cuadrática

El máximo o el mínimo de una función cuadrática se encuentra en el vértice de su gráfica¹. Hallemos el máximo de $y = -x^2 + 4x - 1$ .

Abertura hacia abajo

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, esta gráfica es una parábola abierta hacia abajo. El vértice es entonces el punto más alto, donde la función alcanza su máximo. No hay cota inferior, así que no hay mínimo.

Completar el cuadrado

\begin{align*} -x^2 + 4x - 1 &= -(x^2 - 4x) - 1 \\ &= -\left((x - 2)^2 - 4\right) - 1 \\ &= -(x - 2)^2 + 3 \end{align*}

Así que el vértice es $(2, 3)$ . Como $-(x - 2)^2$ es $-1$ por un cuadrado, vale siempre a lo sumo $0$ , y es lo más grande posible cuando $x = 2$ . El valor máximo $3$ se toma ahí.

Dos caminos hacia el mismo punto

Método	Cálculo	Resultado
Completar el cuadrado	$-(x-2)^2 + 3$	vértice $(2, 3)$
Fórmula del vértice	$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{-2}$	$x = 2$
Cálculo diferencial	$y' = -2x + 4 = 0$	$x = 2$ , y $y'' < 0$

Completar el cuadrado halla el vértice a partir de la forma de la expresión; derivar lo halla a partir de dónde la pendiente vale $0$ .

Máximo o mínimo

Signo de $a$ en $y = a(x - p)^2 + q$	En $x = p$
$a < 0$	máximo $q$
$a > 0$	mínimo $q$

Que sea un máximo o un mínimo depende solo del signo del coeficiente de $x^2$ .

Un intervalo restringido

Hay un caso que merece cuidado: cuando $x$ está restringido a un intervalo. Si el vértice queda fuera de él, el mayor y el menor valor se alcanzan en los extremos. Tomemos esta misma función en $0 \leq x \leq 1$ .

$x$	$y$	Papel
$0$	$-1$	mínimo
$1$	$2$	máximo
$2$	$3$	vértice, fuera del intervalo

Con el dominio restringido, hay que comprobar siempre si el vértice está dentro.

Una aplicación

Para hacer máxima el área de un rectángulo de perímetro $20$ : si la altura es $x$ , la base es $10 - x$ , de modo que el área es $S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$ , cuyo vértice está en $x = 5$ . El área es la mayor posible, $25$ , cuando el rectángulo es el cuadrado de lado $5$ .

El punto grande de la gráfica es el vértice, donde se alcanza el máximo.

Quadratic function, Wikipedia