La tabla de signos y la forma de la gráfica

Una tabla de signos dispone el signo de la derivada intervalo por intervalo. Construimos una para $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

El signo de la derivada

Como $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$, se tiene $f' = 0$ en $x = 1$ y en $x = 3$. Esos dos puntos cortan la recta numérica en tres partes, y examinamos el signo en cada una.

La tabla de signos

En $x = 1$, donde el crecimiento pasa a decrecimiento, hay un máximo local; en $x = 3$, donde el decrecimiento pasa a crecimiento, un mínimo local. Los valores son $f(1) = 4$ y $f(3) = 0$.

Cortes con el eje $x$

Factorizar $f(x) = x(x - 3)^2$ muestra que la gráfica se encuentra con el eje $x$ en $x = 0$ y en $x = 3$. Como $x = 3$ es una raíz doble, la gráfica toca allí el eje sin cruzarlo. Es la misma afirmación que decir que el mínimo local vale exactamente $0$.

La forma de la gráfica

La curva sube desde la izquierda, gira en $(1, 4)$, toca el eje $x$ en $(3, 0)$ y vuelve a subir. Cuando $x \to -\infty$ se tiene $f \to -\infty$ y cuando $x \to \infty$ se tiene $f \to \infty$: la forma típica de una cúbica.

La gráfica de la derivada

$f'$ es una parábola hacia arriba que cruza el eje $x$ en $x = 1$ y en $x = 3$. Solo entre esos dos puntos es $f'$ negativa, y ese es el intervalo en el que $f$ decrece. El vértice de $f'$ está en $x = 2$, y $f'(2) = -3$ es el menor valor de la pendiente.

El centro de simetría

La gráfica de una cúbica tiene simetría central respecto de su punto de inflexión, el punto medio del máximo y el mínimo locales. Aquí ese centro es $\left( \dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{4 + 0}{2} \right) = (2, 2)$.

Que un punto sea o no extremo lo decide el cambio de signo de $f'$. Si $f' = 0$ pero el signo no cambia, no es un extremo. La molestia de escribir una tabla de signos es lo que evita que ese cambio de signo se pase por alto.

La cúbica de la gráfica es $y = x^3 - 6x^2 + 9x$, la parábola es la derivada, y los puntos grandes son el máximo local $(1, 4)$ y el mínimo local $(3, 0)$.