Gráfica de la función $y = e^{-1/x^2}$

$y = e^{-1/x^{2}}$ es una función que se vuelve extraordinariamente plana en el origen. Definir su valor en $x = 0$ como $0$ la hace derivable cuantas veces se quiera y, aun así, no admite desarrollo de Taylor en ese punto. Es el ejemplo habitual de la diferencia decisiva entre el análisis real y el complejo.

Dominio y rango

La fórmula en sí está definida para $x \neq 0$ pero, cuando $x \to 0$, se tiene $-\dfrac{1}{x^{2}} \to -\infty$ y por tanto $y \to 0$, así que poner $f(0) = 0$ la hace continua en toda la recta real, y esa es la definición que se usa aquí. Cuando $|x| \to \infty$ el exponente se acerca a $0$ e $y \to 1$ sin alcanzarlo, de modo que el rango es $0 \leq y < 1$.

Simetría y monotonía

Como $x$ solo aparece elevado al cuadrado, la función es par y simétrica respecto del eje $y$. La derivada es $y' = \dfrac{2}{x^{3}}e^{-1/x^{2}}$, positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$, así que el origen es el mínimo y la curva sube por ambos lados. El valor en el fondo es $0$.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = \dfrac{4 - 6x^{2}}{x^{6}}e^{-1/x^{2}}$, cuyo signo es el de $4 - 6x^{2}$ y cambia en $x = \pm\sqrt{\dfrac{2}{3}} \approx \pm 0.816$. Esos dos puntos son los de inflexión, donde el valor es $e^{-3/2} \approx 0.223$; la curva es cóncava hacia arriba entre ellos y cóncava hacia abajo fuera.

Lo plana que es

Se acerca a $0$ más deprisa que cualquier potencia $x^{n}$, así que cerca del origen la gráfica parece pegada al eje $x$.

Todas las derivadas se anulan en el origen

Derivar una y otra vez produce siempre algo de la forma $P\!\left( \dfrac{1}{x} \right)e^{-1/x^{2}}$, donde $P$ es un polinomio. Por grande que se haga $\dfrac{1}{x}$, el decaimiento de $e^{-1/x^{2}}$ lo supera, así que el producto tiende a $0$ cuando $x \to 0$. Por tanto, $f'(0) = f''(0) = \cdots = 0$: las derivadas de todos los órdenes se anulan en el origen.

Sin desarrollo de Taylor

Si todas las derivadas son nulas, la serie de Maclaurin en el origen es idénticamente cero. Esa serie converge para todo $x$, pero coincide con $f(x)$ en un solo punto, $x = 0$. He aquí una función derivable infinitas veces cuya serie de Taylor sencillamente no la representa. Ser infinitamente derivable se denota $C^{\infty}$ y coincidir con la propia serie de Taylor se llama ser analítica, y esta función es $C^{\infty}$ sin ser analítica.

Contraste con el análisis complejo

Extender $e^{-1/z^{2}}$ a argumentos complejos convierte el origen en una singularidad esencial, cerca de la cual la función toma casi todos los valores. Lo que sobre los reales parecía un punto plano muestra una cara completamente distinta en cuanto se pisa el plano complejo.

Aplicaciones

A partir de esta función se pueden construir funciones infinitamente derivables que valen exactamente cero fuera de un intervalo y son positivas dentro. El ejemplo habitual toma $e^{-1/(1-x^{2})}$ para $|x| < 1$ y $0$ en el resto, y se llama función meseta. Ningún polinomio ni función trigonométrica puede anularse así de forma idéntica fuera de un conjunto acotado. Las funciones meseta son la base de las particiones de la unidad en geometría diferencial y de los mollificadores que suavizan funciones en ecuaciones en derivadas parciales, lo que las convierte en la herramienta habitual para elevar construcciones locales a globales.