y = \csc x

Gráfica de la función cosecante $y = \csc x$

La función cosecante $y = \csc x$ es la función trigonométrica definida como la inversa multiplicativa del seno¹. También se escribe $\operatorname{cosec} x$ y, en un triángulo rectángulo, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Definición

\csc x = \frac{1}{\sin x}

Dominio y rango

El dominio es todo número real con $x \neq n\pi$
El rango es $y \leq -1$ o $y \geq 1$
El período es $2\pi$
Es una función impar

Como $-1 \leq \sin x \leq 1$ y $\sin x \neq 0$ , se tiene $|\csc x| \geq 1$ .

Simetría y período

Como $\sin x$ es impar, $\csc(-x) = -\csc x$ , de modo que la gráfica tiene simetría central respecto del origen. El período es $2\pi$ , el mismo que el del seno.

Asíntotas y límites

Hay una asíntota vertical en cada $x = n\pi$ .

Aproximación	$\sin x$	$\csc x$
$x \to 0^{+}$	$0^{+}$	$+\infty$
$x \to 0^{-}$	$0^{-}$	$-\infty$

Monotonía y extremos

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$ . Entre dos asíntotas consecutivas la curva forma una U o una U invertida.

$x$	$\sin x$	$\csc x$	Extremo
$\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$	$1$	$1$	mínimo local
$\dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$	$-1$	$-1$	máximo local

Relación con otras funciones

1 + \cot^2 x = \csc^2 x

Está ligada a la secante por $\csc x = \sec\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right)$ ; desplazar la gráfica de $\sec x$ en $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la derecha produce $\csc x$ .

Aspecto	$\sec x$	$\csc x$
Definición	$\dfrac{1}{\cos x}$	$\dfrac{1}{\sin x}$
Asíntotas	$\dfrac{\pi}{2} + n\pi$	$n\pi$
Simetría	par	impar
Derivada	$\sec x\tan x$	$-\csc x\cot x$

Integral

\int \csc x\,dx = \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C

Aplicaciones

Los cálculos con triángulos que usan el teorema del seno en forma recíproca
El análisis de oscilaciones y ondas
Las integrales en las que $\csc^2 x$ aparece como derivada de la cotangente

Trigonometric functions, Wikipedia

Gráfica de la función cosecante y=csc⁡xy = \csc xy=cscx