y=sin⁡x+sin⁡2x2+sin⁡3x3y = \sin x + \dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{\sin 3x}{3}

Una suma parcial de Fourier y=sin⁡x+sin⁡2x2+sin⁡3x3y = \sin x + \dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{\sin 3x}{3}

y=sin⁡x+sin⁡2x2+sin⁡3x3y = \sin x + \dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{\sin 3x}{3} es la serie infinita ∑n=1∞sin⁡nxn\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin nx}{n} cortada tras sus tres primeros términos1. Es una función para observar cómo sumar unas pocas ondas sinusoidales suaves hace emerger una forma de onda angulosa y discontinua.

Dominio y simetría

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Cada término es impar, así que la suma es impar y tiene simetría central respecto del origen. El período es 2π2\pi y, en x=0x = 0 y en x=πx = \pi, todos los términos se anulan, de modo que y=0y = 0.

A qué se acerca

El límite de la suma completa es la recta siguiente en 0<x<2π0 < x < 2\pi.

∑n=1∞sin⁡nxn=π−x2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi - x}{2}

Al cruzar x=0x = 0 el valor salta de π2\dfrac{\pi}{2} a −π2-\dfrac{\pi}{2}, y eso se repite cada 2π2\pi. En el salto mismo, sin embargo, la serie converge a 00, la media de los dos lados. He aquí el hecho de que sumar funciones continuas puede converger puntualmente a algo discontinuo.

Qué aspecto tienen tres términos

Con solo tres términos el acercamiento a la recta es aún tosco. Aun así, ya se ve el esqueleto de un diente de sierra: el valor cae en líneas generales conforme xx va de 00 a π\pi. Añadir términos ciñe más la recta y empina la subida del salto.

El rebase, o fenómeno de Gibbs

Una suma parcial se hincha más allá del límite junto a un salto. Con estos tres términos el mayor exceso aparece en x=π4x = \dfrac{\pi}{4}.

MagnitudValor
Máximo de la suma de tres términos en x=π4x = \dfrac{\pi}{4}≈1.4428\approx 1.4428
El límite π−x2\dfrac{\pi - x}{2} en el mismo punto≈1.1781\approx 1.1781
Rebase relativoalrededor del 22%22\%

Añadir términos no elimina esa hinchazón; se estrecha su anchura, y su altura se mantiene en torno al 9%9\% del salto. Este es el fenómeno de Gibbs, la señal de que una serie de Fourier no converge uniformemente2. Es además la causa de las oscilaciones que se ven alrededor de los cambios bruscos en el procesamiento digital de señales.

La derivada

La derivada es cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3x\cos x + \cos 2x + \cos 3x. Extendida a infinitos términos, ∑cos⁡nx\sum\cos nx no converge en el sentido corriente y solo tiene sentido como distribución que contiene una delta de Dirac. Eso corresponde al hecho de que derivar un diente de sierra da una pendiente constante junto con un impulso en cada salto.

Aplicaciones

Una serie de Fourier es la herramienta para escribir cualquier función periódica como superposición de ondas sinusoidales.

  • La síntesis y el análisis de sonido
  • La compresión de imágenes
  • La resolución de ecuaciones en derivadas parciales

El primer paso es exactamente esta pregunta: qué ocurre si uno se detiene tras un número finito de términos.

  1. Fourier series, Wikipedia
  2. Gibbs phenomenon, Wikipedia