Parábola con valor absoluto

Consideremos la gráfica de $y = |x^2 - 1|$ . Es la parábola $y = x^2 - 1$ con la parte que queda por debajo del eje $x$ , donde $-1 < x < 1$ , plegada hacia arriba respecto de ese eje.

Escribirla por casos

Intervalo	Signo de $x^2 - 1$	$y$	Forma
$\|x\| \geq 1$	nulo o positivo	$x^2 - 1$	cóncava hacia arriba
$\|x\| < 1$	negativo	$1 - x^2$	cóncava hacia abajo, una loma

La segunda es una parábola hacia abajo que forma una loma con la cima en $(0, 1)$ . El rango es $y \geq 0$ : la función no toma nunca un valor negativo.

Los picos

En $x = -1$ y $x = 1$ , donde $x^2 - 1 = 0$ , la gráfica llega al eje $x$ y gira formando un pico, y ahí no es derivable. Justo a la derecha de $x = 1$ la pendiente vale $2x = 2$ , mientras que justo a la izquierda la pendiente de $y = 1 - x^2$ vale $-2x = -2$ ; las dos no coinciden. Tomar un valor absoluto planta un pico allí donde la función original cruza el cero.

Cuándo aparece un pico

En general, la gráfica de $y = |f(x)|$ es la de $f$ con todo lo que queda por debajo del eje $x$ reflejado por encima. Pero en un cero en el que $f$ solo toca el eje sin atravesarlo, el pliegue no crea ningún pico.

Función	Comportamiento en el cero	Resultado del pliegue
$y = \|x^2 - 1\|$	atraviesa en $x = \pm 1$	aparecen picos
$y = \|x^2\|$	toca en $x = 0$	sigue siendo $y = x^2$ , aún suave

Que el signo cambie realmente o no es lo que decide si aparece un pico.

Contar las soluciones

Léanse las soluciones reales de $|x^2 - 1| = k$ como intersecciones con la recta horizontal $y = k$ .

Intervalo de $k$	Número de soluciones reales	Dónde están
$k < 0$	$0$	sin intersección
$k = 0$	$2$	los picos $x = \pm 1$
$0 < k < 1$	$4$	dos en la loma, dos fuera
$k = 1$	$3$	la cima de la loma y dos fuera
$k > 1$	$2$	solo las ramas exteriores

El recuento cambia cuando la recta pasa la altura $1$ de la loma: es la loma plegada hacia arriba la que multiplica las soluciones.

Simetría

$y = |x^2 - 1|$ es una función par, simétrica respecto del eje $y$ , porque $x^2 - 1$ es par y tomar valor absoluto conserva la simetría. Los puntos grandes señalan los picos $(-1, 0)$ y $(1, 0)$ y la cima $(0, 1)$ .