Gráfica de la función raíz cúbica $y = \sqrt[3]{x}$

$y = \sqrt[3]{x}$ es el número cuyo cubo es $x$; también se escribe $x^{1/3}$¹. Elevar al cubo conserva el signo de un número negativo, así que las entradas negativas también tienen raíz cúbica real: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Dominio y rango

• Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales
• La función crece de forma monótona
• Es una función impar
• El origen es un punto de inflexión con tangente vertical

Esto refleja que $x^3$ es una aplicación inyectiva de los reales sobre los reales: su inversa devuelve exactamente un valor real para cada entrada real. La raíz cuadrada, en cambio, solo está definida para $x \geq 0$.

Simetría

Como $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$, es una función impar con simetría central respecto del origen, y su gráfica se extiende por el primer y el tercer cuadrante.

Monotonía y el origen

La derivada es $y' = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, positiva para todo $x \neq 0$, así que la función crece en toda la recta. Cuando $x \to 0$ la derivada tiende a $+\infty$, de modo que la tangente en el origen es vertical y la función no es derivable ahí.

El origen es un punto de inflexión, y la gráfica adopta una forma de S alrededor de su tangente vertical.

Puntos destacados

Hace falta multiplicar $x$ por ocho para duplicar $y$, y por mil para multiplicar $y$ por diez: brusca cerca del origen y extremadamente suave a lo lejos.

Relación con otras funciones

Es la inversa de $y = x^3$, y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$. Al elevarla al cuadrado se obtiene $x^{2/3}$, una función par con un pico agudo en el origen, de forma notablemente distinta.

Aplicaciones

• Un cubo de volumen $V$ tiene arista $\sqrt[3]{V}$
• Recuperar una longitud a partir de un volumen entre sólidos semejantes
• Las leyes de escala biológicas que estiman la longitud del cuerpo a partir de su masa
• La fórmula de Cardano para resolver ecuaciones de tercer grado

1. Cube root, Wikipedia