Puntos de inflexión y concavidad

Un punto donde se invierte la dirección en la que se dobla una gráfica es un punto de inflexión¹. Lo hallamos para $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

La segunda derivada

La dirección del doblez la decide la segunda derivada. Derivar $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ una vez más da $f''(x) = 6x - 12$.

Se tiene $f'' = 0$ en $x = 2$ y $f(2) = 8 - 24 + 18 = 2$, así que el punto de inflexión es $(2, 2)$.

$f''$ mide cómo cambia la pendiente

$f''$ describe si $f'$ sube o baja. Donde $f'' < 0$ la pendiente de la tangente decrece, y donde $f'' > 0$ crece. El punto de inflexión es donde eso se invierte y, aquí, es el lugar en el que la pendiente de la tangente es menor. En efecto, $f'(2) = -3$ es el mínimo de $f'$.

El centro de simetría central

Una cúbica tiene simetría central respecto de su punto de inflexión. El punto medio del máximo local $(1, 4)$ y el mínimo local $(3, 0)$ es $(2, 2)$, que es el punto de inflexión. Girar la gráfica de una cúbica $180^\circ$ alrededor de ese punto la lleva sobre sí misma.

Atención al cambio de signo

Un punto donde $f'' = 0$ es solo un candidato. Para $f(x) = x^4$ se tiene $f''(0) = 0$, pero el signo de $f''$ no cambia a ninguno de los dos lados, así que no es un punto de inflexión. Como con los extremos, hay que comprobar el cambio de signo.

Cuántos puntos de inflexión son posibles

Una cúbica tiene un solo cambio de concavidad porque su $f''$ es una expresión de primer grado.

La tangente en el punto de inflexión

De $f'(2) = -3$ resulta $y = -3(x - 2) + 2 = -3x + 8$. Como la concavidad pasa allí de hacia abajo a hacia arriba, esta tangente cruza la curva en el punto de inflexión.

Correspondencia con los extremos

Los extremos los decide el signo de $f'$, y la concavidad, el signo de $f''$.

La cúbica de la gráfica es $y = x^3 - 6x^2 + 9x$, la recta es $y = f''(x) = 6x - 12$, y el punto grande es el punto de inflexión $(2, 2)$.

1. Inflection point, Wikipedia