La ecuación de la circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo¹. Ese punto fijo es el centro, y la distancia común es el radio. Aquí tomamos una circunferencia con centro en el origen y radio $5$ .

Construcción de la ecuación

Tomemos un punto cualquiera $(x, y)$ de la circunferencia. Medido desde el centro, está $x$ en horizontal e $y$ en vertical, lo que forma un triángulo rectángulo; por el teorema de Pitágoras, los cuadrados de los dos catetos suman el cuadrado del radio.

x^2 + y^2 = 5^2 = 25

Probar puntos

Punto	$x^2 + y^2$	Posición
$(3, 4)$	$25$	sobre la circunferencia
$(5, 0)$	$25$	sobre la circunferencia
$(-4, 3)$	$25$	sobre la circunferencia
$(1, 1)$	$2$	en el interior

Se puede comprobar si un punto está sobre la circunferencia sin más que ver si satisface la ecuación.

La ecuación general

La idea es la misma para cualquier radio. Si el centro se traslada a $(a, b)$ , la separación horizontal pasa a ser $x - a$ y la vertical, $y - b$ .

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Centro	Ecuación
$(0, 0)$	$x^2 + y^2 = r^2$
$(a, b)$	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Por qué la gráfica se dibuja en dos trozos

Al despejar $y$ en $x^2 + y^2 = 25$ resulta $y = \sqrt{25 - x^2}$ para la mitad superior e $y = -\sqrt{25 - x^2}$ para la inferior, y juntas forman la circunferencia entera. Las dos mitades se unen en los extremos $(\pm 5, 0)$ , donde $y = 0$ .

Como a un mismo valor de $x$ le corresponden dos valores de $y$ , una circunferencia no es una función de la forma $y = f(x)$ , y por eso se dibuja como dos curvas separadas.

Los puntos grandes de la gráfica son el centro y el punto $(3, 4)$ de la circunferencia. Vayamos en la dirección que vayamos desde el centro, la distancia hasta la curva es siempre el radio, y eso es exactamente lo que dice la ecuación.

Circle, Wikipedia