Gráfica de la función $y = x^x$

$y = x^x$ tiene la misma variable en la base y en el exponente. No es una función potencia como $x^{a}$ ni una exponencial como $a^{x}$, y su verdadera naturaleza solo aparece al reescribirla como $x^x = e^{x \ln x}$.

Dominio

Sobre los reales, el dominio se restringe a $x > 0$. Para $x$ negativo el logaritmo de $e^{x \ln x}$ no está definido y, por ejemplo, $(-0.5)^{-0.5}$ no es un número real. Los enteros negativos sí dan valores, como $(-1)^{-1} = -1$, pero no forman ningún intervalo y por eso no pueden dibujarse como una curva.

Comportamiento en el origen

Cuando $x \to 0^{+}$ se tiene $x \ln x \to 0$, así que el límite es el siguiente.

Que la forma indeterminada $0^0$ se estabilice en $1$ es lo que hace que el extremo izquierdo de la gráfica suba hasta la altura $1$. Como $x = 0$ no está en el dominio, ese punto es un hueco.

Monotonía y extremos

La derivada es $y' = x^x(\ln x + 1)$. Como $x^x > 0$, el signo lo da $\ln x + 1$, lo que produce un mínimo, local y absoluto, en $x = \dfrac{1}{e}$. Su valor es el siguiente.

La curva cae desde $1$ en el extremo izquierdo hasta $0.692$ antes de girar hacia arriba, una forma que sorprende a casi todo el mundo la primera vez.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = x^x\left[ (\ln x + 1)^2 + \dfrac{1}{x} \right]$. El corchete es positivo para todo $x > 0$, así que la curva es cóncava hacia arriba en todo su recorrido y no tiene punto de inflexión.

Ritmo de crecimiento

En los enteros los valores son sencillamente $n^n$. Esto supera a toda exponencial $a^{x}$, porque la propia base no deja de crecer. Está además estrechamente ligada al factorial: la fórmula de Stirling $n! \approx \sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e} \right)^{n}$ muestra que $n!$ crece esencialmente al ritmo de $\dfrac{n^n}{e^n}$.

El sueño del principiante

La integral definida de $0$ a $1$ tiene un desarrollo en serie asombrosamente simple.

De forma parecida, $\int_0^1 x^{-x}\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{n}} \approx 1.2913$. Como las integrales se convierten sin más en series de la misma forma, estas identidades se conocen como el sueño del principiante. Se siguen de desarrollar el integrando $e^{\pm x \ln x}$ como serie exponencial e integrar término a término.

Relación con otras funciones

El exponente $x \ln x$ merece estudiarse por sí mismo, y su punto mínimo es exactamente el punto mínimo de $x^x$. Intercambiar base y exponente da $x^{1/x} = e^{(\ln x)/x}$, cuyo máximo es $e^{1/e} \approx 1.445$ en $x = e$.

Que el mínimo esté en $\dfrac{1}{e}$ y el máximo en $e$ es una simetría muy grata.