Suma de dos valores absolutos

Consideremos la gráfica de $y = |x + 1| + |x - 1|$, la suma de las distancias de un punto $x$ de la recta numérica a $-1$ y a $1$.

Escribirla por casos

Las candidatas a pico son los valores en los que un valor absoluto cambia de signo, a saber, $x = -1$ y $x = 1$.

Los picos están en $(-1, 2)$ y $(1, 2)$, y el fondo plano entre ellos es el valor mínimo $2$.

Por qué el mínimo es $2$

El valor resulta evidente en cuanto la imagen es la distancia. Sitúese uno en cualquier punto entre $-1$ y $1$ y las dos distancias suman exactamente la separación entre los puntos, que es $2$. Al salirse, se recorre ese exceso dos veces, así que la suma solo puede crecer. En símbolos, esto es la desigualdad triangular.

La igualdad se cumple precisamente en $-1 \leq x \leq 1$.

El mínimo se alcanza en todo un intervalo

Lo que hace interesante a esta función es que el mínimo no se alcanza en un punto, sino a lo largo de todo un intervalo. En cualquier lugar de $-1$ a $1$, la suma de distancias se mantiene en $2$. Ese fondo plano es la seña de identidad de una suma de valores absolutos.

Contar las soluciones

Las soluciones de $|x + 1| + |x - 1| = k$ se leen sobre la misma forma.

Subir y bajar la recta horizontal cambia las soluciones de esta manera.

Relación con la mediana

Minimizar una suma de distancias es un problema frecuente en las aplicaciones. Sobre la recta numérica, el punto que minimiza la distancia total a varios puntos dados es su mediana; con un número par de puntos sirve cualquier lugar del intervalo entre los dos centrales.

La robustez de la mediana frente a los valores atípicos está escrita justo aquí, en este fondo plano. Los puntos grandes señalan los picos y el punto central $(0, 2)$.