Derivadas de las funciones trigonométricas

Derivar $\sin$ da $\cos$ , y derivar $\cos$ da $-\sin$ ¹. Cuatro derivaciones devuelven la original.

\begin{align*} \left( \sin x \right)' &= \cos x \\ \left( \cos x \right)' &= -\sin x \end{align*}

Comprobarlo en la gráfica

Cada derivación desplaza la onda $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda.

$x$	$\sin x$	Pendiente	$\cos x$
$0$	$0$	$1$	$1$
$\dfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$0$
$\pi$	$0$	$-1$	$-1$

La tabla muestra además cómo la pendiente se anula allí donde $\sin$ alcanza su máximo.

De vuelta tras cuatro

Veces derivada	Resultado
$1$	$\cos x$
$2$	$-\sin x$
$3$	$-\cos x$
$4$	$\sin x$

Dos derivaciones invierten el signo, así que se cumple lo siguiente.

y'' = -y

Que la vibración de un muelle y el vaivén de un péndulo se escriban con esta ecuación se debe a que $\sin$ y $\cos$ tienen esa propiedad.

Demostrar la fórmula

La demostración usa $\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} = 1$ . La fórmula de transformación de sumas en productos reescribe la diferencia.

\sin(x + h) - \sin x = 2\cos\left( x + \frac{h}{2} \right)\sin\frac{h}{2}

Dividir entre $h$ y usar $\dfrac{\sin(h/2)}{h/2} \to 1$ deja $\cos x$ .

Por qué se usan radianes

Ese límite vale $1$ solo cuando el ángulo se mide en radianes. En grados se convierte en $\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$ , y el factor se multiplicaría en cada derivación. En cálculo se usan radianes precisamente para que ese factor desaparezca.

La tangente y las funciones inversas

La regla del cociente da la derivada de $\tan x$ .

\left( \tan x \right)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

Es siempre positiva, así que $\tan$ crece de forma monótona en cada una de sus ramas. Que la pendiente crezca sin límite cerca de $\cos x = 0$ concuerda con el modo en que la curva se ciñe a su asíntota.

Las funciones trigonométricas inversas también salen. Escribir $y = \arcsin x$ como $\sin y = x$ y derivar ambos miembros da $\cos y \cdot y' = 1$ y, con $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ , se llega a lo siguiente.

\left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

La onda que pasa por el origen es $y = \sin x$ , su derivada es $y = \cos x$ , la derivada siguiente es $y = -\sin x$ , y los puntos grandes son $(0, 0)$ , $(0, 1)$ y $\left( \dfrac{\pi}{2}, 0 \right)$ .

Differentiation of trigonometric functions, Wikipedia