Aproximación lineal

Cerca de su punto de tangencia, una tangente puede sustituir a la curva¹. Aproximamos $f(x) = \sqrt{1 + x}$ alrededor de $x = 0$ .

Hallar la tangente

De $f(0) = 1$ y $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}}$ resulta $f'(0) = \dfrac{1}{2}$ , así que la tangente es la recta siguiente.

y = 1 + \frac{x}{2}

En general se aproxima $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ alrededor de $x = a$ . Eso es una aproximación lineal.

Precisión

$x$	$\sqrt{1+x}$	Aproximación $1 + \dfrac{x}{2}$	Error
$0.01$	$1.0049876$	$1.005$	$0.0000124$
$0.1$	$1.048809$	$1.05$	$0.0012$
$1$	$1.41421$	$1.5$	$0.086$

Dividir $x$ por diez divide el error por cien, porque el error es del orden de $(x - a)^2$ . Se rompe a distancia, así que la aproximación sirve solo cerca del punto de tangencia.

Usarla para calcular

De $\sqrt{101} = 10\sqrt{1.01} \approx 10 \times 1.005 = 10.05$ sale, con cálculo mental, un número muy próximo al valor verdadero $10.049876$ .

Cómo la usa la física

La aproximación del péndulo $\sin\theta \approx \theta$
La relativista $\dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \dfrac{v^2}{2c^2}$
La aproximación de lentes delgadas en óptica

Por incómoda que sea la expresión original, en un intervalo pequeño puede sustituirse por una recta o por una parábola.

Mejorar la precisión

Añadir un término la mejora.

\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}

En $x = 1$ el error se reduce de $0.086$ a $0.039$ . Seguir en esa dirección da el desarrollo de Taylor, y el coeficiente $-\dfrac{1}{8}$ del término cuadrático viene de $\dfrac{f''(0)}{2}$ ².

La curva de la gráfica es $y = \sqrt{1 + x}$ , la recta es la tangente $y = 1 + \dfrac{x}{2}$ , y el punto grande es el punto de tangencia $(0, 1)$ .

Linear approximation, Wikipedia
Taylor series, Wikipedia