La distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del plano coordenado sale del teorema de Pitágoras1. Aquí hallamos la distancia entre A(1,2)A(1, 2) y B(4,6)B(4, 6).

Construcción de un triángulo rectángulo

Ir de AA a BB supone avanzar 4−1=34 - 1 = 3 en horizontal y 6−2=46 - 2 = 4 en vertical. Tomando estas diferencias horizontal y vertical como los dos catetos de un triángulo rectángulo, el segmento que une AA con BB es su hipotenusa.

AB=32+42=25=5AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Ha aparecido el conocido triángulo rectángulo de lados en la razón 3:4:53 : 4 : 5.

La fórmula general

(x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Como las diferencias están elevadas al cuadrado, da igual que x2−x1x_2 - x_1 sea negativo: nombrar los puntos en un orden o en el otro da la misma distancia.

SituaciónFórmula
Par de puntos cualquiera(x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
Distancia al origenx2+y2\sqrt{x^2 + y^2}
Sobre la recta numérica∣x2−x1∣|x_2 - x_1|

La distancia al origen es en lo que se convierte, en el plano, el valor absoluto de la recta numérica.

El punto medio

Los mismos dos puntos dan además el punto medio del segmento, cuyas coordenadas son las medias de los valores de xx y de los de yy.

(1+42,2+62)=(52,4)\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 4\right)

La ecuación de la circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de los puntos que están a distancia rr de un centro (a,b)(a, b), es decir, (x−a)2+(y−b)2=r\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r, y al elevar al cuadrado se obtiene la ecuación conocida.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

La ecuación de la circunferencia no es más que la fórmula de la distancia reescrita.

Clasificar un triángulo

Clasificar un triángulo a partir de tres puntos empieza también aquí, calculando las longitudes de sus tres lados.

Condición sobre los ladosEl triángulo es
dos lados igualesisósceles
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 para el lado mayor ccrectángulo
los tres lados igualesequilátero

La distancia vale 00 solo cuando los dos puntos coinciden; en cualquier otro caso es siempre positiva.

Extensión al espacio

En tres dimensiones se suma el cuadrado de la diferencia de zz. Esta es la distancia euclídea2, y sigue siendo la herramienta básica en aplicaciones como la búsqueda del vecino más cercano, donde lo que se busca es el dato más próximo.

Los puntos grandes de la gráfica son AA y BB, y la longitud del segmento que los une es la distancia 55 que hemos hallado.

  1. Pythagorean theorem, Wikipedia
  2. Euclidean distance, Wikipedia