Gráfica de la secante hiperbólica $y = \operatorname{sech} x$

La función secante hiperbólica $y = \operatorname{sech} x$ se define como la inversa multiplicativa del coseno hiperbólico¹.

Es la contrapartida hiperbólica de la secante ordinaria $\sec x$.

Dominio y rango

• El dominio es el conjunto de todos los números reales
• El rango es el intervalo semiabierto $(0, 1]$
• El máximo $1$ se alcanza en $x = 0$
• Es una función par

El denominador $\cosh x$ vale siempre al menos $1$ y no se anula nunca, así que la función está definida para todo número real. Como $\cosh x \geq 1$, el valor se mantiene en $1$ o por debajo y no llega nunca a $0$. Donde $\sec x$ tenía asíntotas y cumplía $|y| \geq 1$, esta función es justo lo contrario: acotada y suave.

Simetría

Como $\cosh x$ es par, su inversa $\operatorname{sech} x$ también lo es, y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$.

Monotonía y máximo

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x \tanh x$. Como $\operatorname{sech} x$ es positiva, el signo lo da $-\tanh x$: la función crece para $x < 0$ y decrece para $x > 0$. El punto máximo es $(0, 1)$.

Asíntota y decaimiento

Cuando $x \to \pm\infty$ se tiene $\cosh x \to \infty$ y por tanto $\operatorname{sech} x \to 0$, así que el eje $x$ es una asíntota horizontal. Los valores son siempre positivos, de modo que la curva se acerca a $0$ por arriba.

A lo lejos $\cosh x \approx \dfrac{e^{|x|}}{2}$, así que el decaimiento es exponencial.

La gráfica es una campana simétrica, levantada en el centro y que cae con suavidad por ambos lados. Se parece a la densidad de una distribución normal, pero sus colas decaen exponencialmente y no tan bruscamente como las de una gaussiana.

Una identidad

Dividir ambos miembros de $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ entre $\cosh^2 x$ da lo siguiente.

El segundo miembro es exactamente la derivada de $\tanh x$. Se corresponde con $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ de las funciones trigonométricas, y se diferencia solo en un signo.

Aplicaciones

La suave forma de campana aparece en las soluciones de tipo solitón de las ecuaciones que describen ondas no lineales². El perfil de una onda solitaria se escribe con $\operatorname{sech}$ o con $\operatorname{sech}^2$.

• Los solitones de la ecuación KdV y de la ecuación de Schrödinger no lineal
• Los pulsos de luz que viajan por una fibra óptica sin cambiar de forma
• Las ondas solitarias en aguas poco profundas

1. Hyperbolic functions, Wikipedia
2. Soliton, Wikipedia