es el monomio de quinto grado que se obtiene al multiplicar por sí mismo cinco veces1.
Cada real produce exactamente un valor real: muy grande y positivo para grande y positivo, y grande en magnitud pero negativo para grande y negativo.
Como el exponente es impar, , lo que la convierte en una función impar con simetría central respecto del origen. Por ejemplo, da mientras que da : solo cambia el signo. La gráfica queda en el primer y el tercer cuadrante.
La derivada es , positiva en todas partes salvo en , así que la función es monótona creciente en toda la recta, como las funciones impares e .
En el origen , de modo que la recta tangente coincide con el eje . La segunda derivada cambia de signo ahí, así que el origen es un punto de inflexión. La gráfica es, por tanto, extremadamente plana cerca del origen, más aún que la de : se tumba antes de volver a subir.
Para la quíntica sube y baja más bruscamente; para se mantiene más cerca de .
Pertenece a la familia de las funciones potencia y es el arquetipo para impar. Toda potencia impar pasa por , y .
| Exponente | Simetría | ¿Monótona? |
|---|---|---|
| impar | función impar | sí |
| par | función par | no, un mínimo en el origen |
Los polinomios generales de grado cinco o superior no tienen fórmula de resolución por radicales, hecho conocido como teorema de Abel-Ruffini2. El monomio es el caso más simple en el que esto empieza: la ecuación todavía se resuelve con una raíz quinta, pero la quíntica general no. Aparece también como término de orden superior en las series de Taylor y en modelos de fenómenos que varían bruscamente.