Intersección de una circunferencia y una parábola

Hallamos dónde la circunferencia $x^2 + y^2 = 2$ se encuentra con la parábola $y = x^2$ .

Eliminar la variable más cómoda

Al resolver un sistema conviene eliminar la variable que salga con menos esfuerzo. La parábola $y = x^2$ puede sustituirse directamente en la circunferencia, cambiando $x^2$ por $y$ y dejando una ecuación solo en $y$ .

y^2 + y - 2 = (y + 2)(y - 1) = 0

de donde $y = -2$ o $y = 1$ .

Descartar la raíz sin sentido

Aquí hace falta cuidado. Como $y = x^2$ es un cuadrado, nunca puede valer $-2$ : esa raíz apareció por el camino, pero no significa nada. Una solución del álgebra no es automáticamente un punto de la figura, así que hay que volver siempre a las condiciones de partida y comprobar.

Raíz	¿Es posible $y = x^2$ ?	Qué hacer
$y = -2$	no, un cuadrado nunca es negativo	descartar
$y = 1$	sí, $x = \pm 1$	conservar

Al llevar $y = 1$ de vuelta se obtiene $x = \pm 1$ . Los puntos de intersección son $(1, 1)$ y $(-1, 1)$ ; al sustituir en la circunferencia se confirma que $1 + 1 = 2$ . Ambas curvas son simétricas respecto del eje $y$ , de modo que las intersecciones aparecen como una pareja reflejada.

Eliminar la otra variable

Sustituir $y = x^2$ en la circunferencia, en cambio, da una ecuación de cuarto grado.

x^4 + x^2 - 2 = (x^2 + 2)(x^2 - 1) = 0

Como $x^2 = -2$ no tiene solución real, quedan $x = \pm 1$ . La misma respuesta, pero con un grado más alto y más trabajo. Qué variable se elija eliminar decide a menudo lo pesado que resulta el álgebra.

Cambiar el radio

Repetir el cálculo con radio $r$ da $y^2 + y - r^2 = 0$ , que tiene exactamente una raíz positiva $y$ , y ese único $y$ produce los dos puntos $x = \pm\sqrt{y}$ . Así que siempre hay exactamente dos intersecciones, mientras la circunferencia esté centrada en el origen.

Intuitivamente, la parábola arranca en el origen, dentro de la circunferencia, y se va al infinito, de modo que tiene que salir de ella cruzándola exactamente dos veces.

Mover el centro

Si el centro se desplaza fuera del origen a lo largo del eje $y$ , el número de intersecciones puede llegar a cuatro: las intersecciones de dos cónicas son, en general, las raíces de una ecuación de cuarto grado¹.

Los puntos grandes de la gráfica son las intersecciones, y la circunferencia está dibujada como una semicircunferencia superior y otra inferior.

Conic section, Wikipedia