Integrales definidas de funciones trigonométricas

La primitiva de $\sin x$ es $-\cos x$ . La usamos para hallar el área de un arco de la sinusoide.

\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2

El área es $2$ . El arco tiene altura $1$ y anchura $\pi \approx 3.14$ , así que frente al rectángulo de la misma anchura y altura, de área $\pi$ , la razón es $\dfrac{2}{\pi} \approx 0.64$ . Un arco de la sinusoide llena unas seis décimas partes del rectángulo.

Cuidado con el signo

Función	Primitiva
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

Como $(-\cos x)' = \sin x$ , la primitiva es $-\cos x$ y no $\cos x$ . Es la otra cara del signo menos que aparece cuando $\cos$ se deriva y da $-\sin$ .

En un periodo completo vale cero

\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0

Sale $0$ porque el valle de $\pi$ a $2\pi$ queda por debajo del eje $x$ y se cuenta como negativo.

Intervalo	Integral definida	Área
De $0$ a $\pi$	$2$	$2$
De $\pi$ a $2\pi$	$-2$	$2$
De $0$ a $2\pi$	$0$	$4$

Para obtener el área $4$ , intégrese $|\sin x|$ , o duplíquese el $2$ obtenido de un solo arco.

Leerlo en la gráfica de la primitiva

La pendiente de $y = -\cos x$ es $0$ en $x = 0$ , $1$ en $x = \dfrac{\pi}{2}$ y $0$ en $x = \pi$ , que son exactamente los valores de $\sin x$ . Donde $\sin$ es positiva, $-\cos$ crece; donde es negativa, decrece.

La subida de $-\cos 0 = -1$ a $-\cos \pi = 1$ , un aumento de $2$ , es el área misma. Que una integral definida sea una diferencia de primitivas se ve entre las dos gráficas.

La onda de la gráfica es $y = \sin x$ , la onda retrasada $\dfrac{\pi}{2}$ respecto de ella es la primitiva $y = -\cos x$ , y los puntos grandes son los dos extremos de la integral.