y = \operatorname{gd} x = \arcsin(\tanh x)

Gráfica de la función de Gudermann $y = \operatorname{gd} x$

$y = \operatorname{gd} x = \arcsin(\tanh x)$ se llama función de Gudermann, y ata las funciones trigonométricas con las hiperbólicas sin la ayuda de los números complejos¹. Debe su nombre al matemático alemán del siglo XIX Gudermann, y es además la latitud misma en la proyección cartográfica de Mercator.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$
Crece de forma monótona
Es una función impar

El rango de $\tanh x$ es $(-1, 1)$ , así que el argumento de $\arcsin$ cae siempre dentro de su dominio. Las rectas $y = \pm\dfrac{\pi}{2}$ son asíntotas horizontales; los valores se les acercan sin llegar jamás.

Simetría y monotonía

Tanto $\tanh$ como $\arcsin$ son impares, así que su composición es impar y tiene simetría central respecto del origen. La derivada se simplifica de forma notable.

\begin{align*} \frac{d}{dx}\arcsin(\tanh x) &= \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} \cdot \operatorname{sech}^2 x \\ &= \frac{\operatorname{sech}^2 x}{\operatorname{sech} x} = \operatorname{sech} x \end{align*}

Así que $\operatorname{gd}'(x) = \operatorname{sech} x$ , y la función puede definirse igualmente mediante una integral.

\operatorname{gd} x = \int_0^{x} \operatorname{sech} t\,dt

Como $\operatorname{sech} x$ es siempre positiva, la función crece de forma monótona. La pendiente en el origen es $\operatorname{sech} 0 = 1$ , así que la gráfica es allí tangente a la recta $y = x$ .

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = -\operatorname{sech} x \tanh x$ , cuyo signo es el opuesto del de $x$ . La curva es cóncava hacia arriba para $x < 0$ y cóncava hacia abajo para $x > 0$ , con el origen como único punto de inflexión.

Un puente entre las dos familias

El sentido de esta función es un conjunto de identidades que se cumplen en cuanto se escribe $\theta = \operatorname{gd} x$ .

Del lado trigonométrico	Del lado hiperbólico
$\sin\theta$	$\tanh x$
$\cos\theta$	$\operatorname{sech} x$
$\tan\theta$	$\sinh x$
$\sec\theta$	$\cosh x$

Todas se cumplen a la vez. La función es un diccionario que traduce funciones hiperbólicas a trigonométricas sin recurrir a los números complejos.

La inversa y la integral de la secante

La inversa es $\operatorname{gd}^{-1}(y) = \operatorname{artanh}(\sin y)$ , que también puede escribirse así.

\operatorname{gd}^{-1}(y) = \ln(\sec y + \tan y)

El segundo miembro no es más que la parte principal de la integral $\int \sec y\,dy = \ln|\sec y + \tan y| + C$ . La fórmula de la integral de la secante, que en una tabla de integrales parece caída del cielo, resulta ser esta función.

La proyección de Mercator

En la proyección de Mercator, un lugar de latitud $\varphi$ se dibuja en la coordenada vertical $\int_0^{\varphi} \sec t\,dt$ ². Eso es $\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)$ , así que, recíprocamente, la latitud que corresponde a una coordenada vertical $x$ del mapa es $\operatorname{gd} x$ .

$x$ , la coordenada vertical	$\operatorname{gd} x$ en radianes	Latitud
$0$	$0$	$0^\circ$
$1$	$\approx 0.8657$	$\approx 49.60^\circ$
$2$	$\approx 1.3018$	$\approx 74.58^\circ$
$\pi$	$\approx 1.4842$	$\approx 85.05^\circ$

Que sea tangente a $y = x$ cerca del origen corresponde a la escasa deformación cerca del ecuador, y que se acerque a $\pm\dfrac{\pi}{2}$ en los extremos corresponde a que los polos queden desterrados al infinito. Web Mercator, muy usado por los servicios de mapas, corta la latitud en $\pm 85.05^\circ$ porque corta el mapa en $x = \pm\pi$ para hacerlo cuadrado.

Gudermannian function, Wikipedia
Mercator projection, Wikipedia

Gráfica de la función de Gudermann y=gd⁡xy = \operatorname{gd} xy=gdx