y=sin⁡2xy = \sin^2 x

Gráfica de la función y=sin⁡2xy = \sin^2 x

y=sin⁡2xy = \sin^2 x es el seno al cuadrado. Elevar al cuadrado pliega hacia arriba la parte negativa y reduce el período a la mitad. Es la forma que reaparece siempre que está en juego la intensidad de una oscilación, desde el valor eficaz de una corriente alterna hasta la intensidad de la luz.

La fórmula del ángulo mitad

Despejar en la identidad del ángulo doble cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x da lo siguiente.

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

Como muestra esta expresión, sin⁡2x\sin^2 x no es más que cos⁡2x\cos 2x puesto del revés, dividido por dos y elevado en 12\dfrac{1}{2}: una onda de coseno de amplitud 12\dfrac{1}{2} en torno al nivel 12\dfrac{1}{2}, con período π\pi.

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es 0≤y≤10 \leq y \leq 1
  • El período es π\pi
  • Es una función par

Período y simetría

Aunque sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi) = -\sin x, elevar al cuadrado borra el signo, así que el período es π\pi, la mitad que el de sin⁡x\sin x. Esa reducción a la mitad pasa fácilmente inadvertida. Elevar al cuadrado una función impar produce además una función par, de modo que la gráfica es simétrica respecto del eje yy.

Ceros y máximos

Los ceros están en x=nπx = n\pi, donde sin⁡x=0\sin x = 0, pero son ceros dobles: la curva toca el eje xx sin pasar por debajo. El valor máximo 11 ocurre en x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi. A diferencia de sin⁡x\sin x, con sus crestas y valles alternos, esta gráfica es una fila de crestas uniformemente espaciadas y nada más.

xxsin⁡2x\sin^2 xPosición
0000toca el eje xx
π4\dfrac{\pi}{4}12\dfrac{1}{2}punto de inflexión
π2\dfrac{\pi}{2}11máximo
3π4\dfrac{3\pi}{4}12\dfrac{1}{2}punto de inflexión
π\pi00toca el eje xx

Monotonía e inflexión

Las fórmulas del ángulo doble mantienen breves las derivadas.

y′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xy′′=2cos⁡2x\begin{align*} y' &= 2\sin x\cos x = \sin 2x \\ y'' &= 2\cos 2x \end{align*}

Los puntos de inflexión están donde cos⁡2x=0\cos 2x = 0, en x=π4+nπ2x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{n\pi}{2}, y el valor allí es 12\dfrac{1}{2}, exactamente a media altura.

La media vale un medio

La identidad sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 se cumple en todas partes, y cos⁡2x\cos^2 x no es más que un trasladado de sin⁡2x\sin^2 x, así que las dos han de tener la misma media. Como su suma promedia 11, cada una promedia 12\dfrac{1}{2}. La integración da la misma respuesta.

1π∫0πsin⁡2x dx=12\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}

La primitiva es x2−sin⁡2x4+C\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C.

Aplicaciones

La potencia que disipa una corriente alterna es proporcional al cuadrado de la corriente, así que una corriente sinusoidal produce una potencia exactamente de esta forma. Que la media valga 12\dfrac{1}{2} es lo que hace que el valor eficaz sea 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} veces el valor de pico, piedra angular de la ingeniería eléctrica1.

  • El valor eficaz y la potencia de una corriente alterna
  • La ley de Malus, que da la intensidad de la luz que deja pasar un polarizador2
  • La densidad de probabilidad de la mecánica cuántica, el módulo al cuadrado de una función de onda
  1. Root mean square, Wikipedia
  2. Polarizer, Wikipedia