y=sgn⁡(sin⁡x)y = \operatorname{sgn}(\sin x)

Gráfica de la onda cuadrada y=sgn⁡(sin⁡x)y = \operatorname{sgn}(\sin x)

y=sgn⁡(sin⁡x)y = \operatorname{sgn}(\sin x) toma solamente el signo del seno sin⁡x\sin x, lo que da una onda cuadrada cuyo valor alterna entre +1+1 y −1-11.

Definición

La función signo se define así.

sgn⁡(t)={+1(t>0)0(t=0)−1(t<0)\operatorname{sgn}(t) = \begin{cases} +1 & (t > 0) \\ 0 & (t = 0) \\ -1 & (t < 0) \end{cases}

Aplicarla a t=sin⁡xt = \sin x da la función que consideramos aquí.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales, y el rango consta de solo tres valores: −1-1, 00 y +1+1.

Intervalosin⁡x\sin xyy
0<x<π0 < x < \pipositivo+1+1
x=nπx = n\pi0000
π<x<2π\pi < x < 2\pinegativo−1-1

Periodicidad y simetría

El período es 2π2\pi, el mismo que el de sin⁡x\sin x. Como sgn⁡(sin⁡(−x))=−sgn⁡(sin⁡x)\operatorname{sgn}(\sin(-x)) = -\operatorname{sgn}(\sin x), la función es impar, con simetría central respecto del origen.

Puntos de discontinuidad

En cada x=nπx = n\pi el valor salta de forma discontinua entre +1+1 y −1-1. El salto tiene tamaño 22, y el valor en ese instante es 00. Frente a la onda suave de sin⁡x\sin x, esta gráfica está hecha solo de segmentos horizontales y saltos verticales.

Hay dos saltos en cada período, y en todo lo demás la derivada vale 00. El valor conmuta sin haber tenido nunca pendiente, una estructura típica de las funciones escalonadas.

Serie de Fourier

Una onda cuadrada puede escribirse como suma de senos de índice impar.

sgn⁡(sin⁡x)=4π∑k=0∞sin⁡((2k+1)x)2k+1\operatorname{sgn}(\sin x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}

Los coeficientes caen solo como 12k+1\dfrac{1}{2k+1}, así que la convergencia es lenta y una buena aproximación necesita muchos términos. Truncar la serie deja un rebase junto a cada salto, conocido como fenómeno de Gibbs2. Añadir términos no reduce la altura de ese rebase, que se mantiene en torno al 9%9\%; lo único que se estrecha es su anchura.

Forma de ondaArmónicos presentesDecaimiento de los coeficientes
Onda cuadradaimpares1n\dfrac{1}{n}
Onda triangularimpares1n2\dfrac{1}{n^{2}}

Se transparenta la regla general: una forma de onda con saltos tiene coeficientes que decaen despacio, y una con meros picos los tiene que decaen deprisa.

Aplicaciones

  • La señal de reloj de un circuito digital
  • El control todo o nada
  • La modulación por ancho de pulso
  • La síntesis de sonido electrónico
  1. Square wave, Wikipedia
  2. Gibbs phenomenon, Wikipedia