y = x

Gráfica de la función lineal $y = x$

$y = x$ es la función lineal más simple: pendiente $1$ y ordenada al origen $0$ ¹. Es la función lineal general $y = ax + b$ con $a = 1$ y $b = 0$ y, como devuelve el mismo valor que recibe, también se la llama función identidad². Es asimismo la función potencia $y = x^n$ con $n = 1$ .

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es el conjunto de todos los números reales
Cada valor real se alcanza exactamente una vez

Pendiente e intersecciones con los ejes

La pendiente es $1$ : cada vez que $x$ aumenta en $1$ , $y$ aumenta también en $1$ , de modo que la razón de cambio $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ vale $1$ en todos los puntos de la gráfica. La recta forma un ángulo de $45^\circ$ con el eje $x$ , y tanto su intersección con el eje $y$ como la que tiene con el eje $x$ son el origen.

Simetría

Como $f(-x) = -x = -f(x)$ , se trata de una función impar, con simetría central respecto del origen, que atraviesa en línea recta el primer y el tercer cuadrante.

Monotonía

Cantidad	Valor	Consecuencia
$y'$	$1$	crece de forma monótona
$y''$	$0$	no se curva nunca

No hay máximo, ni mínimo, ni punto de inflexión. El ritmo de crecimiento no cambia jamás, y eso la convierte en la forma más simple posible de crecimiento.

Puntos destacados

$x$	$y$
$-1$	$-1$
$0$	$0$
$1$	$1$
$100$	$100$

La gráfica es exactamente la condición de que $x$ e $y$ tengan el mismo valor.

Relación con otras funciones

La recta $y = x$ actúa como espejo entre una función y su inversa: las gráficas de $y = f(x)$ y de $y = f^{-1}(x)$ son reflejos una de la otra respecto de ella.

Función	Inversa
$y = e^x$	$y = \ln x$
$y = x^2$ ( $x \geq 0$ )	$y = \sqrt{x}$
$y = x^3$	$y = \sqrt[3]{x}$

La función lineal general $y = ax + b$ puede leerse como esta misma recta con la pendiente cambiada a $a$ y desplazada verticalmente en $b$ .

Aplicaciones

$y = x$ representa la operación que no cambia nada. En un diagrama de dispersión de valores predichos frente a valores observados, los puntos que caen sobre esta recta son justamente aquellos en los que la predicción acertó, y por eso se traza como recta de referencia para juzgar la bondad del ajuste. En los modelos de proporcionalidad es el punto de partida: el caso más simple, con constante de proporcionalidad $1$ .

Linear function, Wikipedia
Identity function, Wikipedia

Gráfica de la función lineal y=xy = xy=x