y = \dfrac{1}{x^2}

Gráfica de la función $y = 1/x^2$

$y = \dfrac{1}{x^2}$ , que también se escribe $x^{-2}$ , es una función racional cuyo denominador es un cuadrado, así que sus valores son siempre positivos: la gráfica consta de dos ramas que suben a ambos lados del eje $y$ .

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$
El rango es $y > 0$
Es una función par
No tiene máximo ni mínimo

A diferencia de $\dfrac{1}{x}$ , no toma nunca un valor negativo.

Simetría

Como $(-x)^2 = x^2$ , se cumple $f(-x) = f(x)$ : la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$ , formada por dos ramas simétricas en el primer y el segundo cuadrante.

Asíntotas

Cuando $x \to 0$ por cualquiera de los dos lados, $y \to +\infty$ , así que el eje $y$ es una asíntota vertical. Cuando $x \to \pm\infty$ , $y \to 0$ , de modo que el eje $x$ es una asíntota horizontal, a la que se acerca por arriba, ya que los valores se mantienen positivos.

Monotonía

La derivada es $y' = -\dfrac{2}{x^3}$ . Para $x < 0$ se tiene $x^3 < 0$ , así que $y' > 0$ y la función crece; para $x > 0$ la derivada es negativa y la función decrece. La curva sencillamente sube sin límite al acercarse al origen por cualquiera de los dos lados.

Ritmo de decaimiento

$x$	$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{1}{x^2}$
$1$	$1$	$1$
$2$	$0.5$	$0.25$
$10$	$0.1$	$0.01$

Duplicar $x$ reduce el valor a $\dfrac{1}{4}$ , y triplicarlo lo reduce a $\dfrac{1}{9}$ . El decaimiento es mucho más rápido que el de $\dfrac{1}{x}$ . El valor $|x| = 1$ marca la divisoria: por dentro los valores superan $1$ , por fuera quedan por debajo.

Relación con otras funciones

Derivar $\dfrac{1}{x}$ produce $-\dfrac{1}{x^2}$ . Comparar las áreas bajo las dos curvas más allá de $x = 1$ resulta instructivo.

Integral	Resultado
$\int_{1}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2}$	converge a $1$
$\int_{1}^{\infty} \dfrac{dx}{x}$	diverge

Una leve diferencia en la forma de decaer de la cola decide si el área acumulada es finita.

Aplicaciones

Esta es la ley del inverso del cuadrado que recorre la física¹.

La atracción gravitatoria entre dos masas
La fuerza de Coulomb entre dos cargas
El brillo de una fuente puntual de luz

Al duplicar la distancia, la intensidad cae a $\dfrac{1}{4}$ . La razón es geométrica: la fuerza o la luz se reparten por igual sobre una esfera, y el área de la superficie de una esfera crece con el cuadrado de su radio.

Inverse-square law, Wikipedia

Gráfica de la función y=1/x2y = 1/x^2y=1/x2