Gráfica de la función $y = x\sin\dfrac{1}{x}$

$y = x\sin\dfrac{1}{x}$ multiplica $\sin\dfrac{1}{x}$ por $x$. Ese factor amortigua la amplitud, así que la oscilación salvaje de cerca del origen queda aplastada hasta cero junto con su altura. Es el teorema del sándwich convertido en forma, y también el ejemplo habitual de que la continuidad no garantiza la derivabilidad.

Dominio y simetría

El dominio es $x \neq 0$. La función resulta ser par.

La gráfica es, por tanto, simétrica respecto del eje $y$, exactamente como predice la regla de que el producto de dos funciones impares es par.

La compresión

De $\left|\sin\dfrac{1}{x}\right| \leq 1$ se sigue la acotación siguiente¹.

La gráfica queda así confinada dentro de la cuña que forman las rectas $y = x$ e $y = -x$. Apretada hacia $0$ por ambos lados, el límite cuando $x \to 0$ es $0$. La oscilación en sí no se detiene nunca y su frecuencia no baja; lo único que se desvanece es su amplitud. La curva toca los lados de la cuña en $x = \dfrac{2}{(2n+1)\pi}$, donde $\left|\sin\dfrac{1}{x}\right| = 1$.

Continua pero no derivable

Definir $f(0) = 0$ hace la función continua en el origen, ya que ese es el límite. No es derivable allí, sin embargo, porque el cociente incremental se comporta así.

Esto no tiene límite cuando $h \to 0$. Una línea de cálculo separa la continuidad de la derivabilidad.

Subir la potencia del factor $x$ domestica el comportamiento en el origen un escalón cada vez.

Comportamiento a lo lejos

Poner $u = \dfrac{1}{x}$ muestra que la función no es otra cosa que la función sinc compuesta con una recíproca.

Como $x \to \pm\infty$ corresponde a $u \to 0$, resulta $y \to 1$ y la recta $y = 1$ es una asíntota horizontal. Todas las infinitas oscilaciones que la sinc reparte a lo largo de $u > 0$ quedan comprimidas en el entorno inmediato del origen.

Rango y extremos

Para $u \neq 0$ siempre se tiene $\dfrac{\sin u}{u} < 1$, y su primer mínimo ocurre en la solución de $\tan u = u$ cercana a $u \approx 4.4934$, donde el valor es de unos $-0.2172$. Trasladándolo de vuelta, el mínimo de nuestra función vale unos $-0.2172$, alcanzado en $x = \dfrac{1}{4.4934} \approx 0.2225$, y el rango es $-0.2172 \leq y < 1$. El valor $1$ no se alcanza nunca, precisamente porque $\dfrac{\sin u}{u} < 1$ se cumple siempre.

Ceros

Los ceros están en $x = \dfrac{1}{n\pi}$, donde $\sin\dfrac{1}{x} = 0$, exactamente los mismos que los de $\sin\dfrac{1}{x}$. Multiplicar por $x$ no mueve ninguno, y siguen acumulándose en el origen.

Importancia

En un primer curso de análisis, esta función es la primera aplicación habitual del teorema del sándwich. Es al mismo tiempo una curva concreta que es continua en un punto y no tiene allí tangente, lo que hace visible que la derivabilidad es una condición más fuerte que la continuidad.

1. Squeeze theorem, Wikipedia