Crecimiento y decaimiento exponencial

Comparemos las gráficas de $y = 2^x$ e $y = 2^{-x}$. Como $2^{-x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$, la primera crece al aumentar $x$ mientras que la segunda decae.

Simetría respecto del eje $y$

Las dos gráficas son simétricas respecto del eje $y$: cambiar $x$ por $-x$ las intercambia. Ambas pasan por $y = 1$ en $x = 0$, y se encuentran en $(0, 1)$.

Inversas una de la otra

Multiplicar los dos valores en cualquier $x$ da $2^x \cdot 2^{-x} = 2^0 = 1$, siempre. Las funciones son inversas multiplicativas una de la otra: cuando una se duplica, la otra se reduce a la mitad.

Pasos iguales, factores iguales

La esencia de una exponencial es que a pasos iguales corresponden factores iguales. En la gráfica creciente, cada paso unidad en $x$ duplica el valor; en la decreciente, cada paso unidad lo reduce a la mitad. El tiempo de duplicación, o la semivida, mide lo mismo se tome donde se tome. Al factor le da igual lo grande o lo pequeña que se haya vuelto ya la cantidad.

Invertir la base y cambiar el signo del exponente

La curva $y = 2^{-x}$ es $y = 2^x$ reflejada respecto del eje $y$, y es igualmente $y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$, la exponencial de base inversa. Invertir la base y cambiar el signo del exponente son la misma operación, que es lo que afirma la propiedad $a^{-x} = \left( \dfrac{1}{a} \right)^x$; en la gráfica, esa propiedad se manifiesta como una reflexión respecto del eje $y$.

Propiedades comunes

Las dos funciones tienen rango $y > 0$ y toman el eje $x$ por asíntota. La curva creciente se acerca a $0$ hacia la izquierda y la decreciente lo hace hacia la derecha, pero ninguna llega nunca.

Aplicaciones

Los puntos grandes señalan el cruce $(0, 1)$ y los puntos simétricos $(1, 2)$ y $(-1, 2)$.