y = \operatorname{arccot} x

La arcocotangente $y = \operatorname{arccot} x$

$\operatorname{arccot} x$ , la cotangente inversa o arcocotangente, invierte $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ ¹. Es la única función trigonométrica inversa cuyo valor principal está realmente discutido. El convenio que se usa aquí toma el rango $(0, \pi)$ , lo que da la fórmula siguiente.

\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Como $\cot$ aplica el intervalo $(0, \pi)$ de forma monótona sobre toda la recta real, su inversa admite cualquier número real y devuelve valores en $(0, \pi)$ . Como el rango de $\arctan$ es $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ , restarlo de $\dfrac{\pi}{2}$ cae exactamente en $(0, \pi)$ .

Monotonía y asíntotas

La derivada se diferencia de la de $\arctan$ solo en el signo.

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1+x^{2}}

Al ser siempre negativa, la función decrece en toda la recta y no tiene extremos.

$x$	$\operatorname{arccot} x$
$\to -\infty$	$\to \pi$
$-1$	$\dfrac{3\pi}{4}$
$0$	$\dfrac{\pi}{2}$
$1$	$\dfrac{\pi}{4}$
$\to +\infty$	$\to 0$

Las rectas $y = \pi$ e $y = 0$ son asíntotas horizontales.

Simetría y concavidad

La gráfica tiene simetría de rotación respecto de $\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)$ , heredada de la simetría de $\arctan$ respecto del origen tras darle la vuelta y elevarla en $\dfrac{\pi}{2}$ .

La segunda derivada es $\dfrac{2x}{(1+x^{2})^{2}}$ , que lleva el signo de $x$ , así que la curva es cóncava hacia abajo para $x < 0$ y cóncava hacia arriba para $x > 0$ , y el centro de simetría es su único punto de inflexión.

Los dos convenios

Convenio	Fórmula	Rango	Continuidad
Valor principal en $(0, \pi)$	$\dfrac{\pi}{2} - \arctan x$	$(0, \pi)$	continua en toda la recta
A través de la recíproca	$\arctan\dfrac{1}{x}$	$\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ sin el $0$	salta $\pi$ en el origen

Las dos definiciones coinciden para $x > 0$ y se diferencian en exactamente $\pi$ para $x < 0$ . Muchos sistemas de álgebra computacional y bibliotecas numéricas adoptan la segunda, y también lo hace el motor de fórmulas de este sitio: escribir acot(x) en el campo de la fórmula dibuja la curva discontinua y no la que se muestra aquí.

Cuál elegir

Cuando se quiere una función continua y decreciente, por ejemplo para escribir una primitiva en la forma siguiente, el rango $(0, \pi)$ resulta cómodo.

\int \frac{dx}{1+x^{2}} = -\operatorname{arccot} x + C

Cuando se prefiere definirla a través de una recíproca, como las demás funciones trigonométricas inversas, o calcularla mecánicamente a partir de $\arctan$ , la forma $\arctan\dfrac{1}{x}$ es más cómoda. Los libros de texto y el software se dividen en la cuestión, así que siempre que aparezca $\operatorname{arccot}$ conviene comprobar qué rango se pretende.

Completar la familia

Con esta quedan colocadas las seis funciones trigonométricas inversas. Tres parejas suman cada una $\dfrac{\pi}{2}$ , una disposición de simetría muy limpia.

Pareja	Relación
$\arcsin$ y $\arccos$	$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$
$\arctan$ y $\operatorname{arccot}$	$\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi}{2}$
$\operatorname{arcsec}$ y $\operatorname{arccsc}$	$\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \dfrac{\pi}{2}$

Inverse trigonometric functions, Wikipedia

La arcocotangente y=arccot⁡xy = \operatorname{arccot} xy=arccotx