Derivadas de la exponencial y del logaritmo

Esta es la historia de la función que no cambia al derivarla y de la función cuya derivada es $\dfrac{1}{x}$. Miramos $y = e^x$ e $y = \ln x$.

La pendiente es igual a la altura

En todo punto de $e^x$ la pendiente de la tangente es igual a la altura del punto¹.

Las únicas funciones con esa propiedad son las de la forma $Ce^x$, y el número $e$ queda fijado por ella.

Con $2^x$ no ocurre lo mismo. Allí $\left( 2^x \right)' = 2^x \ln 2$, desviado por el factor $\ln 2 \approx 0.693$. Solo con base $e$ desaparece el coeficiente sobrante.

La derivada del logaritmo

La derivada de $\ln x$ es $\dfrac{1}{x}$².

Se aplana hacia la derecha. Por eso $\ln x$ crece sin límite mientras su ritmo de crecimiento se desvanece.

La relación entre inversas

Las dos son inversas una de la otra, y sus gráficas son simétricas respecto de $y = x$. Como la derivada de una inversa es $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{dy/dx}$, si la pendiente de $y = e^x$ es el propio $y$, entonces la pendiente de $x = \ln y$ es $\dfrac{1}{y}$. Cada una se sigue de la otra.

Rellenar un hueco de la integración

Integrar $\dfrac{1}{x}$ devuelve $\ln x$. La integral de $x^n$ es $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, que falla en $n = -1$ porque el denominador se hace $0$. El logaritmo es lo que rellena ese hueco.

Cuando la base no es $e$

La primera se sigue de reescribir $a^x = e^{x \ln a}$ y aplicar la regla de la cadena, y la segunda de $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$. Sea cual sea la base, pasar a logaritmos naturales lo reduce todo a esas dos fórmulas.

La curva que sube bruscamente es $y = e^x$, la que sube con suavidad es $y = \ln x$, la hipérbola es $y = \dfrac{1}{x}$, y los puntos grandes son $(0, 1)$, $(1, 0)$ y $(1, 1)$.

1. Exponential function, Wikipedia
2. Natural logarithm, Wikipedia