y = \sqrt{1 - x^2}

Gráfica de $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicircunferencia superior)

$y = \sqrt{1 - x^2}$ es la función irracional que describe la mitad superior de la circunferencia de radio $1$ centrada en el origen¹. Al elevar al cuadrado ambos miembros se obtiene la ecuación de la circunferencia unidad.

x^2 + y^2 = 1

La circunferencia completa no es una función, ya que un mismo $x$ tendría dos valores de $y$ . Tomar solo la raíz cuadrada positiva recorta la mitad superior, y esa es esta función.

Dominio y rango

El dominio es $-1 \leq x \leq 1$
El rango es $0 \leq y \leq 1$
Es una función par
El dominio es un intervalo cerrado y acotado

El radicando no puede ser negativo, y eso es lo que confina el dominio. Un intervalo cerrado como este es poco habitual entre las funciones vistas hasta ahora.

Monotonía y la cima

La derivada es $y' = \dfrac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ . Es positiva para $x < 0$ y negativa para $x > 0$ , así que la función sube hasta un máximo de $1$ en el origen, la cima de la semicircunferencia, donde la tangente es horizontal.

Los extremos

Cuando $x$ se acerca a $\pm 1$ el denominador tiende a $0$ , de modo que $|y'| \to \infty$ : las tangentes en $(-1, 0)$ y $(1, 0)$ quedan verticales y la función no es derivable ahí. Recordando que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio, es exactamente lo que cabe esperar. La curva llega al eje $x$ en ángulo recto y se detiene.

Puntos destacados

$x$	$y$
$0$	$1$
$\pm\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\pm 1$	$0$

Todo punto de la curva está a distancia $1$ del origen, y la curvatura es la misma en todas partes. A diferencia de una parábola, la flexión no varía nunca a lo largo de la curva.

Otras formas de escribirla

La parametrización $x = \cos\theta$ , $y = \sin\theta$ con $0 \leq \theta \leq \pi$ recorre el mismo arco. La mitad inferior es $y = -\sqrt{1 - x^2}$ , y juntas forman la circunferencia entera. Para un radio $r$ la función queda $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ .

Integración y $\pi$

El área entre esta curva y el eje $x$ es el área de un semicírculo.

\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}

Es una manera clásica y hermosa de extraer $\pi$ de una integral. Las integrales que contienen $\sqrt{1 - x^2}$ son además el escenario habitual de la sustitución trigonométrica $x = \sin\theta$ .

Circle, Wikipedia

Gráfica de y=1−x2y = \sqrt{1 - x^2}y=1−x2​ (semicircunferencia superior)