y=tan⁡xy = \tan x

Gráfica de la función tangente y=tan⁡xy = \tan x

La función tangente y=tan⁡xy = \tan x es el seno dividido por el coseno1. Sobre la circunferencia unidad es la pendiente de la recta que pasa por el origen con ángulo xx, y en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.

Definición

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

El denominador es cos⁡x\cos x, así que la función no está definida allí donde el coseno se anula.

Dominio y rango

  • El dominio es todo número real con x≠π2+nπx \neq \dfrac{\pi}{2} + n\pi
  • El rango es el conjunto de todos los números reales
  • El período es π\pi
  • Es una función impar

A diferencia del seno y del coseno, la tangente no tiene cota superior ni inferior.

Periodicidad

El período es π\pi, la mitad que el del seno y el coseno, ya que tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x + \pi) = \tan x. La misma rama se repite cada π\pi.

Simetría

Como tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x, es una función impar con simetría central respecto del origen.

Asíntotas y límites

Hay una asíntota vertical en cada x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi. Hacia dónde se dispara el valor depende del signo con el que se acerque el denominador.

Aproximacióncos⁡x\cos xtan⁡x\tan x
x→(π2)−x \to \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{-}0+0^{+}+∞+\infty
x→(π2)+x \to \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{+}0−0^{-}−∞-\infty

La gráfica es, así, una familia de ramas, cada una encerrada entre dos asíntotas.

Monotonía

La derivada es y′=1cos⁡2x=sec⁡2xy' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x, positiva allí donde la función está definida, así que la tangente crece de forma monótona dentro de cada rama.

No es creciente en toda la recta real: al cruzar una asíntota, el valor cae de +∞+\infty de vuelta a −∞-\infty. El crecimiento solo vale dentro de una misma rama.

Valores destacados

xxtan⁡x\tan x
0000
π6\dfrac{\pi}{6}13\dfrac{1}{\sqrt{3}}
π4\dfrac{\pi}{4}11
π3\dfrac{\pi}{3}3\sqrt{3}

Los ceros son las soluciones de sin⁡x=0\sin x = 0, a saber, x=nπx = n\pi. En π4\dfrac{\pi}{4}, es decir, en 45∘45^\circ, el valor es exactamente 11, que corresponde a una recta de pendiente 11.

Aproximación cerca del origen

La recta tangente en el origen es y=xy = x, de pendiente 11.

lim⁡x→0tan⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

Así que tan⁡x≈x\tan x \approx x para ángulos pequeños. Escribir un término más del desarrollo da tan⁡x=x+x33+⋯\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \cdots, de modo que cerca del origen sin⁡x\sin x queda por debajo de xx mientras que tan⁡x\tan x queda por encima.

Relación con otras funciones

Cumple 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}, y su inversa multiplicativa es la cotangente cot⁡x\cot x. Como su rango es toda la recta real, restringirla a −π2<x<π2-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} la hace inyectiva, y la inversa de esa restricción es arctan⁡x\arctan x.

Aplicaciones

El ángulo θ\theta que forma la recta y=mxy = mx con el eje xx cumple m=tan⁡θm = \tan\theta, así que la tangente es el puente entre pendiente y ángulo.

  • La pendiente de una carretera o de un tejado
  • La topografía, donde una altura es una distancia por tan⁡θ\tan\theta
  • La relación entre el campo de visión de una cámara y su distancia focal
  1. Trigonometric functions, Wikipedia