Gráfica de la función $y = \dfrac{\ln x}{x}$

$y = \dfrac{\ln x}{x}$ es un logaritmo dividido por una función lineal. El numerador crece solo despacio, así que el denominador acaba adelantándolo y la expresión entera vuelve a $0$. El máximo que alcanza por el camino recoge algo esencial sobre el número $e$.

Dominio y rango

El dominio es $x > 0$. Cuando $x \to 0^{+}$ el numerador tiende a $-\infty$ y el denominador a $0^{+}$, así que $y \to -\infty$; cuando $x \to \infty$ resulta $y \to 0^{+}$. El valor máximo es $\dfrac{1}{e}$, de modo que el rango es $y \leq \dfrac{1}{e}$.

Asíntotas y corte con el eje

El eje $y$ es una asíntota vertical y el eje $x$, una horizontal, aunque por la derecha la curva se le acerca por arriba. Como $\ln x = 0$ en $x = 1$, el corte con el eje $x$ es $(1, 0)$; la función es negativa en $0 < x < 1$ y positiva para $x > 1$.

Monotonía y extremos

La regla del cociente da la derivada.

El denominador es positivo, así que el signo lo da $1 - \ln x$: positivo para $x < e$ y negativo para $x > e$. La función tiene, por tanto, un máximo, local y absoluto, en $x = e$, de valor $\dfrac{1}{e}$. El punto máximo es $\left( e, \dfrac{1}{e} \right) \approx (2.718, 0.368)$.

Concavidad e inflexión

La segunda derivada es $y'' = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}$. El denominador es positivo, así que el signo es el de $2\ln x - 3$, que cambia en $x = e^{3/2} \approx 4.482$. Ese único punto de inflexión, donde la curva pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, tiene valor $\dfrac{3}{2}e^{-3/2} \approx 0.335$.

Comparar $e^{\pi}$ y $\pi^{e}$

Como el máximo está en $x = e$, se sigue una comparación célebre. Para $x \neq e$ se tiene $\dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{1}{e}$ y, tomando $x = \pi$, resulta la cadena siguiente.

Numéricamente, $\pi^{e} \approx 22.459$ y $e^{\pi} \approx 23.141$. El mismo argumento muestra que $a^{b} > b^{a}$ siempre que $e \leq a < b$.

Relación con $\sqrt[n]{n}$

Como $x^{1/x} = e^{(\ln x)/x}$, el punto máximo de esta función es también el punto máximo de $x^{1/x}$, que vale $e^{1/e} \approx 1.445$ en $x = e$.

Entre los enteros, el más cercano a $e$ es $3$, así que la sucesión $\sqrt[n]{n}$ alcanza su máximo en $n = 3$. Conforme la gráfica se estabiliza hacia $0$, la sucesión tiende a $1$.

Integral

Sustituir $t = \ln x$ da un resultado limpio.