El área que encierran una parábola y una recta

El área que encierran una parábola y una recta la decide únicamente la separación entre sus intersecciones. Lo confirmamos con $y = x^2$ e $y = 2x + 3$ .

Hallar las intersecciones

De $x^2 = 2x + 3$ , es decir, $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0$ , resulta $x = -1$ y $x = 3$ . Los puntos son $(-1, 1)$ y $(3, 9)$ .

Integrar directamente

En este intervalo la recta queda arriba, así que el área es la siguiente.

\int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) \, dx = \left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{32}{3}

Obtenerla solo de la separación

Escribiendo $\alpha$ y $\beta$ con $\alpha < \beta$ para las intersecciones, el integrando se factoriza como $-(x - \alpha)(x - \beta)$ .

\int_{\alpha}^{\beta} -(x - \alpha)(x - \beta) \, dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}

Aquí $\dfrac{(3 - (-1))^3}{6} = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}$ , en acuerdo. Se la conoce como fórmula de un sexto.

Método	Cálculo	Resultado
A partir de la primitiva	$9 - \left( -\dfrac{5}{3} \right)$	$\dfrac{32}{3}$
La fórmula de un sexto	$\dfrac{4^3}{6}$	$\dfrac{32}{3}$

Cuando hay coeficiente

Si el coeficiente de $x^2$ no es $1$ , el área queda multiplicada en consecuencia: la región que encierran $y = ax^2 + bx + c$ y una recta tiene área $\dfrac{|a| (\beta - \alpha)^3}{6}$ . Para la región entre dos parábolas se aplica la misma fórmula, con $a$ la diferencia de sus coeficientes de $x^2$ .

Crece con el cubo

Lo interesante es que el área crece como el cubo de la separación.

Separación entre las intersecciones	Área, con coeficiente $1$
$1$	$\dfrac{1}{6}$
$2$	$\dfrac{8}{6}$
$4$	$\dfrac{64}{6}$

Duplicar la separación multiplica el área por ocho.

Como la respuesta sale en cuanto se conocen las intersecciones, no hay que calcular ninguna primitiva. Una vez en la mano los valores $-1$ y $3$ , lo único que queda es $\dfrac{4^3}{6}$ .

La parábola de la gráfica es $y = x^2$ , la recta es $y = 2x + 3$ , y los puntos grandes son las intersecciones.