Gráfica de la función $y = \max(\sin x,\, \cos x)$

$y = \max(\sin x,\, \cos x)$ elige el mayor de entre el seno y el coseno. Se superponen dos ondas suaves y se sigue solo la de arriba, así que aparece un pico allí donde se cruzan. Es un buen sitio para ver qué le hace a una gráfica tomar un máximo.

Cuál queda arriba

Las dos coinciden cuando $\sin x = \cos x$, es decir, $\tan x = 1$, en $x = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$. En esos puntos se intercambian los papeles.

Esto se repite cada $2\pi$, así que el período es $2\pi$.

Rango

El valor máximo es $1$, alcanzado dos veces por período: en $x = 2n\pi$, donde $\cos x = 1$, y en $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$, donde $\sin x = 1$. El mínimo es el más bajo de los cruces, a saber, $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ en $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi$.

El rango es, por tanto, $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq y \leq 1$. El valor no baja nunca a $-1$, que las dos funciones de partida sí alcanzan, porque siempre que una de ellas vale $-1$ la otra vale $0$.

Picos y crestas

En un cruce, las pendientes laterales no coinciden.

El resultado es un pico que apunta hacia abajo, y lo mismo ocurre en $x = \dfrac{5\pi}{4}$. Las crestas, en cambio, son los máximos genuinos de la función elegida en cada tramo, así que son suaves. En cada período aparecen dos picos y dos crestas suaves.

En términos de valores absolutos

Con la fórmula $\max(a, b) = \dfrac{a + b + |a-b|}{2}$ la función puede escribirse así.

Se sigue de sustituir $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left( x+\dfrac{\pi}{4} \right)$ y $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left( x-\dfrac{\pi}{4} \right)$. La función es, pues, una onda sinusoidal suave más el valor absoluto de otra, y los picos vienen enteramente del segundo término, heredados de los picos de $|\sin x|$.

Qué le hace a una función tomar el máximo

Una función construida con $\max$ deja de ser derivable, por lo general, allí donde se cruzan sus ingredientes, por suaves que estos sean. La función rampa $\max(0, x)$ se dobla en el origen por la misma razón, y es el caso en el que uno de los ingredientes es la constante $0$.

Tomar el mínimo traza en cambio la envolvente inferior, y las dos están ligadas así.

Aplicaciones

Un circuito que selecciona la más fuerte de dos señales, o un diseño en el que manda la más estricta de varias restricciones, tiene una respuesta de esta forma. En optimización, minimizar el máximo de varias expresiones lineales es un problema habitual, y también allí la cuestión central es cómo manejar una función con picos¹.

1. Convex optimization, Wikipedia