Composición del seno y el coseno

Consideremos la gráfica de y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x. Mediante la composición de funciones trigonométricas, las dos ondas se reducen a un único seno.

Componer

sin⁡x+cos⁡x=2 sin⁡(x+π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\,\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Tiene amplitud 2\sqrt{2} y es la gráfica de y=sin⁡xy = \sin x desplazada π4\dfrac{\pi}{4} hacia la izquierda. Los valores recorren de −2-\sqrt{2} a 2\sqrt{2}, y el máximo 2\sqrt{2} se alcanza donde x+π4=π2x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}, es decir, en x=π4x = \dfrac{\pi}{4}.

De dónde salen el 2\sqrt{2} y el π4\dfrac{\pi}{4}

Aplicar al revés la fórmula de la suma explica ambos. Desarrollar el segundo miembro da lo siguiente.

2 sin⁡(x+π4)=2(sin⁡xcos⁡π4+cos⁡xsin⁡π4)=2(22sin⁡x+22cos⁡x)=sin⁡x+cos⁡x\begin{align*} \sqrt{2}\,\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) &= \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) \\ &= \sin x + \cos x \end{align*}

Vuelve, en efecto, al primer miembro.

La composición general

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2 sin⁡(x+α)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(x + \alpha)

Aquí α\alpha es el ángulo que determina tan⁡α=ba\tan\alpha = \dfrac{b}{a}. La fórmula también puede leerse diciendo que la longitud del punto (a,b)(a, b) es la amplitud y su argumento es el desfase.

Punto (a,b)(a, b)Amplitud a2+b2\sqrt{a^2+b^2}Fase α\alpha
(1,1)(1, 1)2\sqrt{2}π4\dfrac{\pi}{4}
(1,0)(1, 0)1100
(0,1)(0, 1)11π2\dfrac{\pi}{2}
(3,1)(\sqrt{3}, 1)22π6\dfrac{\pi}{6}

En nuestro caso, el punto (1,1)(1, 1) tiene longitud 2\sqrt{2} y argumento π4\dfrac{\pi}{4}.

Qué dice la composición

Lo que dice la composición es que sumar ondas sinusoidales del mismo período da una onda sinusoidal de ese mismo período. Solo cambian la amplitud y la fase; la forma de la onda y su período, no.

Por eso sumar sin⁡x\sin x y cos⁡x\cos x no produce ninguna clase nueva de onda, sino solo una onda sinusoidal algo más alta y algo desplazada hacia la izquierda. Esta propiedad es la base para superponer dos tensiones en un circuito de corriente alterna y para calcular la interferencia de varias ondas.

Las rectas horizontales y=±2y = \pm\sqrt{2} muestran la amplitud, y el punto grande es el máximo en (π4,2)\left( \dfrac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right).