y = \dfrac{1}{x}

Gráfica de la función recíproca $y = 1/x$

$y = \dfrac{1}{x}$ es la función racional que expresa la proporcionalidad inversa¹. Al multiplicar ambos miembros por $x$ queda $xy = 1$ , así que la gráfica es una hipérbola cuyas asíntotas son el eje $x$ y el eje $y$ .

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$
El rango es $y \neq 0$
Es una función impar
Cada rama decrece

Ningún $x$ hace que $\dfrac{1}{x} = 0$ , así que la curva no toca nunca el eje $x$ .

Simetría

Como $f(-x) = -f(x)$ , es una función impar con simetría central respecto del origen, y su gráfica se reparte entre el primer y el tercer cuadrante. Es además simétrica respecto de las rectas $y = x$ e $y = -x$ .

Asíntotas y límites

Aproximación	Comportamiento
$x \to \pm\infty$	$y \to 0$
$x \to 0^{+}$	$y \to +\infty$
$x \to 0^{-}$	$y \to -\infty$

El eje $x$ es una asíntota horizontal y el eje $y$ , una vertical. Los valores saltan de $-\infty$ a $+\infty$ al cruzar el origen, y por eso la gráfica se parte en dos ramas separadas.

Monotonía

La derivada es $y' = -\dfrac{1}{x^2}$ , negativa para todo $x \neq 0$ , así que la función decrece en $x < 0$ y decrece en $x > 0$ . No es decreciente en toda la recta real: $x = -1$ da $y = -1$ mientras que $x = 1$ da $y = 1$ , de modo que el valor sube al cruzar el hueco. Solo decrece dentro de una misma rama.

Puntos destacados

$x$	$y$
$-1$	$-1$
$\dfrac{1}{2}$	$2$
$1$	$1$
$2$	$\dfrac{1}{2}$

Todo punto de la curva cumple $xy = 1$ , así que el rectángulo que se forma al bajar perpendiculares a los dos ejes tiene siempre área $1$ .

Relación con otras funciones

La función recíproca es su propia inversa: al despejar $x$ en $y = \dfrac{1}{x}$ resulta $x = \dfrac{1}{y}$ , de modo que aplicarla dos veces devuelve el valor de partida. Su integral produce el logaritmo natural.

\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C

Elevar al cuadrado el denominador da en cambio $\dfrac{1}{x^2}$ , una función par cuyos valores son siempre positivos, con una forma notablemente distinta.

Aplicaciones

La proporcionalidad inversa describe relaciones en las que un producto se mantiene constante.

La ley de Boyle, en la que la presión y el volumen varían de forma inversa a temperatura fija²
La velocidad y el tiempo necesario para recorrer una distancia fija
La resistencia y la corriente a voltaje fijo
Repartir una cantidad fija de trabajo entre un número de personas

Multiplicative inverse, Wikipedia
Boyle's law, Wikipedia

Gráfica de la función recíproca y=1/xy = 1/xy=1/x