Extremos locales frente a máximo y mínimo

Un extremo local y un máximo o un mínimo son cosas distintas¹. Vemos la diferencia con $f(x) = x^4 - 2x^2$ .

Hallar los extremos

Como $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$ , hay tres puntos donde $f' = 0$ .

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	decreciente	mín. local $-1$	creciente	máx. local $0$	decreciente	mín. local $-1$	creciente

El máximo local es $0$ y el mínimo local es $-1$ .

Un máximo local no es un máximo

Lo importante aquí es que el máximo local no es el mayor valor de toda la gráfica. Como $f \to \infty$ cuando $x \to \pm\infty$ , esta función no tiene máximo en absoluto. El punto $(0, 0)$ es solo el más alto de su propio entorno.

Un mínimo, en cambio, sí existe. Los dos mínimos locales valen $-1$ , y ese es el valor más bajo de todos, así que el mínimo es $-1$ . No hay inconveniente en que dos valores distintos de $x$ lo alcancen.

Aspecto	Extremo local	Máximo y mínimo
Rango con el que se compara	un entorno del punto	todo el dominio, o un intervalo
Valores de esta función	máx. local $0$ , mín. local $-1$	sin máximo, mínimo $-1$

Un extremo local es una comparación hecha en las cercanías; un máximo o un mínimo es una comparación hecha en conjunto. Por eso hallar un máximo o un mínimo exige examinar no solo los puntos con $f' = 0$ , sino también los extremos del intervalo y el comportamiento en el infinito.

Restringir el intervalo cambia la respuesta

En $0 \leq x \leq 2$ la respuesta es distinta.

Candidato	$x$	$f(x)$
Mínimo local	$1$	$-1$
Extremo izquierdo del intervalo	$0$	$0$
Extremo derecho del intervalo	$2$	$8$

El máximo es $8$ y el mínimo es $-1$ . El punto $x = 2$ no es un extremo local pero, como extremo del intervalo, es candidato al máximo.

La forma de la gráfica

Factorizar $f(x) = x^2(x^2 - 2)$ muestra que la gráfica se encuentra con el eje $x$ en $x = 0$ y en $x = \pm\sqrt{2}$ . Como $x = 0$ es una raíz doble, la curva toca el eje en el origen sin cruzarlo. En $0 < |x| < \sqrt{2}$ se tiene $f < 0$ , así que la gráfica se hunde por debajo del eje.

La forma es una W. Al ser par es simétrica respecto del eje $y$ , con una pequeña loma en el origen y dos valles en $x = \pm 1$ .

La cuártica de la gráfica es $y = x^4 - 2x^2$ , la cúbica es la derivada, y los puntos grandes son los mínimos locales $(-1, -1)$ y $(1, -1)$ junto con el máximo local $(0, 0)$ .

Maximum and minimum, Wikipedia