Ecuación con valor absoluto

Resolvemos la ecuación con valor absoluto $|x - 2| = 3$ leyéndola como la intersección de $y = |x - 2|$ e $y = 3$.

Leerla como una distancia

Léase el valor absoluto como una distancia y la respuesta aparece sin cálculo alguno. La expresión $|x - 2|$ es la separación entre $x$ y $2$ sobre la recta numérica, así que $|x - 2| = 3$ pregunta sin más qué números están a $3$ de $2$. Tres a la derecha da $5$; tres a la izquierda da $-1$. Las soluciones son, por tanto, $x = 5$ y $x = -1$, y los dos puntos de intersección son $(5, 3)$ y $(-1, 3)$. Una ecuación con valor absoluto es una regla apoyada sobre la recta numérica.

Resolver por casos

Cada candidata encaja en el intervalo del que salió, así que se conservan las dos.

Leer la gráfica

$y = |x - 2|$ es la V de $y = |x|$ desplazada $2$ a la derecha, con el pico en $(2, 0)$. La altura $0$ de ese pico es la frontera que decide cuántas veces corta una recta horizontal a la gráfica.

Una ecuación como $|x - 2| = -1$ no tiene solución precisamente porque la V no baja nunca del eje $x$.

Pasar a las inecuaciones

La misma lectura resuelve las inecuaciones.

En la gráfica son los tramos en los que la V queda por debajo de la recta $y = 3$ y aquellos en los que queda por encima. Escribir la tolerancia de una medida como $|x - a| \leq d$ descansa en esa misma idea de separación respecto de un centro $a$. Los puntos grandes de la gráfica son las intersecciones $(5, 3)$ y $(-1, 3)$.