Gráfica del logaritmo binario $y = \log_2 x$

$y = \log_2 x$ es el logaritmo de base $2$: da el exponente al que hay que elevar $2$ para obtener $x$. Por ejemplo, $2^3 = 8$, así que $\log_2 8 = 3$. Es la inversa de la exponencial $y = 2^x$.

Dominio y rango

El argumento $x$ ha de ser positivo, así que el dominio es $x > 0$ y el rango es el conjunto de todos los números reales. Como la base es mayor que $1$, la función crece de forma monótona, y es negativa para $0 < x < 1$.

Duplicar suma uno

Cada vez que $x$ se duplica, el valor gana exactamente $1$.

Monotonía y asíntota

Cuando $x \to 0^{+}$ la función diverge a $-\infty$, así que el eje $y$, la recta $x = 0$, es una asíntota vertical. Cuando $x \to +\infty$ sigue subiendo despacio hacia $+\infty$. La derivada es la siguiente.

Es siempre positiva, y la segunda derivada es negativa, de modo que la gráfica es cóncava hacia abajo. En $(1, 0)$ la tangente tiene pendiente $y'(1) = \dfrac{1}{\ln 2} \approx 1.4427$.

Simetría con la exponencial

La gráfica es simétrica de la de $2^x$ respecto de la recta $y = x$: donde $2^x$ se dispara hacia arriba, $\log_2 x$ apenas repta.

Cambio de base

Por la fórmula del cambio de base es un múltiplo constante del logaritmo natural.

Se diferencia, por tanto, de $\ln x$ o de $\log_{10} x$ solo en un estiramiento vertical, y la forma es la misma.

Aplicaciones

El logaritmo en base $2$ es especialmente importante en informática.

• El bit, la unidad de información, se mide con $\log_2$
• Distinguir entre $n$ alternativas exige $\log_2 n$ bits
• La búsqueda binaria y la ordenación por mezcla, que parten el problema por la mitad a cada paso, se ejecutan en tiempo $O(\log_2 n)$
• Una octava musical, una duplicación de la frecuencia, se mide del mismo modo

Saber que ha ocurrido un suceso de probabilidad $p$ aporta $-\log_2 p$ bits de información, y en eso se basa la entropía de Shannon.