La integral definida y el área

Una integral definida da el área que encierran una curva y el eje $x$ ¹. La calculamos para $f(x) = x^2$ de $0$ a $2$ .

Buscar una primitiva

Buscar una función cuya derivada sea $x^2$ lleva a $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ , ya que, en efecto, $F'(x) = x^2$ .

\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}

El área es $\dfrac{8}{3} \approx 2.667$ . El rectángulo $0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 4$ tiene área $8$ , así que la región bajo la parábola ocupa exactamente un tercio de él.

La constante de integración se cancela

Una primitiva no es única: $\dfrac{x^3}{3} + 5$ también da $x^2$ al derivar. Pero una integral definida toma la diferencia entre el extremo superior y el inferior, así que la constante se cancela y la respuesta no cambia. Sirve cualquier primitiva.

Orientación y partición

Propiedad	Expresión
Intercambiar los extremos	$\int_2^0 x^2 dx = -\dfrac{8}{3}$
Cortar el intervalo	$\int_0^2 = \int_0^1 + \int_1^2$
Los valores concretos	$\dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{3}$

Una integral definida es un área con orientación, contada como positiva al avanzar de izquierda a derecha.

Intervalos donde el valor es negativo

Allí donde $f$ es negativa, la integral definida también lo es. Para obtener un área hay que devolverle el signo a la parte que queda por debajo del eje $x$ . Aquí $x^2 \geq 0$ , así que la cuestión no se plantea.

Al activar la integral en el panel de ajustes con límite inferior $0$ y superior $2$ se sombrea la región que acabamos de calcular. La parábola de la gráfica es $y = x^2$ , y los puntos grandes son los dos extremos de la integral.

Integral, Wikipedia