y = \dfrac{x+1}{x-1}

Gráfica de la función homográfica $y = \dfrac{x+1}{x-1}$

$y = \dfrac{x+1}{x-1}$ es una función homográfica, con un polinomio de primer grado en el numerador y en el denominador. Tiene la forma general $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ con $c \neq 0$ y $ad - bc \neq 0$ ; aquí $ad - bc = -2$ . Si $ad - bc$ fuera $0$ , el numerador sería un múltiplo constante del denominador y la gráfica se desplomaría hasta quedar en una recta horizontal.

Reducción a la forma estándar

Al dividir el numerador entre el denominador, la función se reescribe.

y = \frac{(x-1) + 2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}

La gráfica es, por tanto, la recíproca $y = \dfrac{2}{x}$ trasladada una unidad en cada dirección, una hipérbola equilátera. Esta reescritura muestra por qué la gráfica de toda función homográfica es una recíproca trasladada.

Dominio, rango y asíntotas

Elemento	Valor
Dominio	$x \neq 1$
Rango	$y \neq 1$
Asíntota vertical	$x = 1$
Asíntota horizontal	$y = 1$
Centro	$(1, 1)$

Como $f(1+t) = 1 + \dfrac{2}{t}$ y $f(1-t) = 1 - \dfrac{2}{t}$ suman $2$ , la gráfica tiene simetría de rotación respecto de ese centro. Las dos asíntotas se cortan en ángulo recto, y eso es lo que hace de ella una hipérbola equilátera.

Monotonía y concavidad

La derivada es $f'(x) = -\dfrac{2}{(x-1)^2}$ , negativa en todo el dominio, así que la función decrece en cada rama por separado y no tiene extremos. La segunda derivada es $f''(x) = \dfrac{4}{(x-1)^3}$ , de modo que la curva es cóncava hacia arriba para $x > 1$ y cóncava hacia abajo para $x < 1$ .

Puntos de muestra

$x$	$y$
$-3$	$\dfrac{1}{2}$
$-1$	$0$
$0$	$-1$
$2$	$3$
$3$	$2$

Función inversa

Despejemos $x$ en $y = \dfrac{x+1}{x-1}$ . Al multiplicar por $x-1$ y agrupar términos queda $x(y-1) = y+1$ , de donde $x = \dfrac{y+1}{y-1}$ . La inversa es la mismísima fórmula, así que $f(f(x)) = x$ : una función que vuelve al punto de partida al aplicarse dos veces se llama involución. Que la curva pase a la vez por $(2, 3)$ y por $(3, 2)$ es una consecuencia visible, ya que la gráfica es simétrica respecto de la recta $y = x$ .

Aplicaciones

Las funciones homográficas aparecen siempre que dos magnitudes están ligadas por una relación casi recíproca. Al despejar la distancia imagen en la ecuación de las lentes delgadas $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$ resulta $b = \dfrac{af}{a-f}$ , y la asíntota vertical es exactamente el momento en que un objeto colocado en el foco manda su imagen al infinito.

Extendida a los números complejos, la misma fórmula es una transformación de Möbius¹, que se usa en análisis complejo y en geometría porque lleva circunferencias y rectas a circunferencias y rectas.

Mobius transformation, Wikipedia

Gráfica de la función homográfica y=x+1x−1y = \dfrac{x+1}{x-1}y=x−1x+1​