y = x^2

Gráfica de la función cuadrática $y = x^2$

La gráfica de $y = x^2$ es una parábola abierta hacia arriba con el vértice en el origen¹. Es la función cuadrática más simple: la forma general $y = ax^2 + bx + c$ con $a = 1$ y $b = c = 0$ .

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $y \geq 0$
El valor mínimo $0$ se alcanza en $x = 0$
Es una función par

Elevar al cuadrado un número real nunca da un resultado negativo, y eso es lo que limita el rango.

Simetría

Como $(-x)^2 = x^2$ , la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$ : $x$ y $-x$ dan el mismo valor, y el eje de simetría es la recta $x = 0$ .

Monotonía y vértice

La derivada es $y' = 2x$ : negativa para $x < 0$ , donde la función decrece, y positiva para $x > 0$ , donde crece. Cambia de sentido en $x = 0$ y alcanza allí su mínimo, y ese punto es el vértice de la parábola. La segunda derivada $y'' = 2$ es positiva en todas partes, así que la curva es convexa en todo su recorrido.

Ritmo de crecimiento

$x$	$y = x^2$
$1$	$1$
$2$	$4$
$3$	$9$
$10$	$100$

Duplicar $x$ multiplica $y$ por $4$ , y triplicarlo lo multiplica por $9$ : el valor crece en proporción al cuadrado de $x$ . La curva toca el eje $x$ en su vértice, el único punto que comparte con ese eje.

Relación con otras funciones

Restringida a $x \geq 0$ la función es inyectiva, y su inversa es $y = \sqrt{x}$ ; las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$ .

Intervalo de $x$	Cuál es mayor
$0 < \|x\| < 1$	$x^2 > x^4$
$\|x\| = 0$ o $1$	son iguales
$\|x\| > 1$	$x^2 < x^4$

Como arquetipo de las potencias pares, invita a compararla con $y = x^4$ .

Aplicaciones

Las parábolas aparecen por toda la naturaleza. Bajo la sola acción de la gravedad, la distancia recorrida en la caída es $y = \dfrac{1}{2}gt^2$ , proporcional al cuadrado del tiempo, y un objeto lanzado describe una trayectoria parabólica².

El movimiento de un proyectil bajo la gravedad
Las antenas parabólicas y los telescopios reflectores, que reúnen en el foco los rayos paralelos
La suma de errores al cuadrado que se minimiza en el ajuste por mínimos cuadrados

Para $y = x^2$ el foco es $\left(0, \dfrac{1}{4}\right)$ y la directriz es la recta $y = -\dfrac{1}{4}$ .

Quadratic function, Wikipedia
Projectile motion, Wikipedia

Gráfica de la función cuadrática y=x2y = x^2y=x2