Intersección de una circunferencia y una recta

Miramos cuántas veces corta una recta a la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ , que tiene el centro en el origen y radio $5$ .

Dos maneras de distinguir los casos

Sustituir la recta en la ecuación de la circunferencia y contar las soluciones reales
Comparar la distancia $d$ del centro a la recta con el radio $r$

Las dos dan la misma respuesta, y la segunda no necesita álgebra alguna.

Distancia	Soluciones	La recta y la circunferencia
$d < r$	dos	se cortan en dos puntos
$d = r$	una doble	son tangentes
$d > r$	ninguna	no se cortan

Tres rectas horizontales

Recta	Ecuación en $x$	$d$	Resultado
$y = 3$	$x^2 = 16$	$3$	corta en $(\pm 4, 3)$
$y = 5$	$x^2 = 0$	$5$	tangente en $(0, 5)$
$y = 7$	$x^2 = -24$	$7$	sin intersección

Para $y = 5$ los dos puntos de intersección se han fundido en uno, que es lo que significa la tangencia. Para $y = 7$ ningún número real elevado al cuadrado da un valor negativo, así que no hay solución real.

Deslizar la recta

Si se desliza hacia arriba una recta horizontal, estos tres casos aparecen por turno: mientras la recta pasa por el interior de la circunferencia hay dos cortes; al subir, los dos cortes se acercan; en el borde se funden en un único punto; y más arriba la recta abandona la circunferencia. También puede verse como la distancia al centro creciendo hasta que, pasado el radio, los cortes desaparecen.

El número de soluciones reales que da la sustitución concuerda exactamente con los tres casos. Los puntos grandes de la gráfica señalan los puntos de intersección y de tangencia.

Circle, Wikipedia