El volumen de un cono

La integración revela por qué el volumen de un cono es un tercio del área de la base por la altura¹. Giramos alrededor del eje $x$ la parte de la recta $y = \dfrac{x}{2}$ con $0 \leq x \leq 6$ .

Sumar las secciones

El sólido resultante es un cono de radio de la base $3$ y altura $6$ . La sección cortada en $x$ es un círculo de radio $\dfrac{x}{2}$ , de área $\pi \dfrac{x^2}{4}$ .

V = \pi \int_0^6 \frac{x^2}{4}\,dx = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^6 = \frac{\pi}{4} \times 72 = 18\pi

Comprobando con la fórmula, $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 6 = 18\pi$ , en acuerdo.

De dónde sale el un tercio

El área de la sección crece proporcionalmente a $x^2$ , así que al integrar sale $\dfrac{x^3}{3}$ , y la división entre $3$ es lo que queda.

Sólido	Área de la sección	Volumen
Cilindro	constante	$\pi r^2 h$
Cono	proporcional a $x^2$	$\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

El caso general

Un cono de radio $r$ y altura $h$ es el sólido que se obtiene al girar $y = \dfrac{r}{h}x$ de $0$ a $h$ .

V = \pi \int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

La propia fórmula cae por su peso.

Lo mismo para una pirámide

Aun cuando la sección es un cuadrado en vez de un círculo, el área de figuras semejantes es proporcional al cuadrado de una longitud, así que el área de la sección vuelve a ser de la forma $x^2$ . Al integrar sale el mismo un tercio. Que todo cono y toda pirámide lleven un factor $\dfrac{1}{3}$ se debe a ese cuadrado.

El mismo método para una esfera

Gírese $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ de $-r$ a $r$ .

V = \pi \int_{-r}^{r} \left( r^2 - x^2 \right) dx = \frac{4}{3}\pi r^3

Las dos rectas que se abren desde el origen en la gráfica son $y = \pm\dfrac{x}{2}$ , el contorno antes de girar. Los puntos grandes son el borde de la base.

Cone, Wikipedia