y = x \ln x

Gráfica de la función $y = x \ln x$

$y = x \ln x$ es el producto de una función lineal por un logaritmo. Cuando $x \to 0^{+}$ el factor $\ln x$ diverge a $-\infty$ mientras que $x$ tiende a $0$ , así que la primera pregunta es cuál de los dos efectos gana. La respuesta es $x$ , y el valor converge a $0$ .

Dominio y rango

El logaritmo obliga al dominio $x > 0$ . Como se ve más abajo, el valor mínimo es $-\dfrac{1}{e}$ y la función diverge cuando $x \to \infty$ , así que el rango es $y \geq -\dfrac{1}{e}$ .

Comportamiento en el origen

El límite cuando $x \to 0^{+}$ se sigue de la regla de L'Hôpital.

\begin{align*} \lim_{x \to 0^{+}} x \ln x &= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{1/x} \\ &= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1/x}{-1/x^2} \\ &= \lim_{x \to 0^{+}} (-x) = 0 \end{align*}

La forma indeterminada $\dfrac{-\infty}{\infty}$ se ha reescrito para volverla tratable. La gráfica se dibuja entrando en el origen como succionada, pero $x = 0$ no está en el dominio, así que ese extremo queda abierto. La derivada $y' = \ln x + 1$ diverge allí a $-\infty$ , de modo que la tangente se vuelve vertical.

Monotonía y extremos

La derivada $y' = \ln x + 1$ se anula cuando $\ln x = -1$ , es decir, en $x = \dfrac{1}{e}$ . Es negativa antes de ese punto y positiva después, así que la función tiene ahí un mínimo, local y absoluto, de valor $-\dfrac{1}{e}$ . El punto mínimo $\left( \dfrac{1}{e}, -\dfrac{1}{e} \right) \approx (0.368, -0.368)$ se recuerda con facilidad por tener coordenadas de igual magnitud.

Concavidad y corte con el eje

La segunda derivada es $y'' = \dfrac{1}{x}$ , positiva en todo el dominio, así que la curva es cóncava hacia arriba en todas partes y no tiene punto de inflexión. Como $x \ln x = 0$ solo cuando $\ln x = 0$ , el único corte con el eje $x$ es $(1, 0)$ .

Intervalo	$\ln x$	$y$
$0 < x < 1$	negativo	negativo
$x = 1$	$0$	$0$
$x > 1$	positivo	positivo

Integral

La integración por partes da la primitiva.

\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

De ahí, $\int_0^1 x \ln x\,dx = -\dfrac{1}{4}$ . La integral impropia toma un valor finito precisamente porque el integrando se estabiliza en $0$ cuando $x \to 0$ .

Relación con otras funciones

Como $x^x = e^{x \ln x}$ , esta función es el exponente de $y = x^x$ . Que $x \ln x$ alcance su mínimo $-\dfrac{1}{e}$ en $x = \dfrac{1}{e}$ es exactamente la razón de que $x^x$ alcance su mínimo $e^{-1/e} \approx 0.692$ en el mismo lugar.

Aplicaciones

En teoría de la información, un suceso de probabilidad $p$ aporta $-p \ln p$ a la entropía. La forma de esta gráfica, cambiada de signo, muestra que la aportación se anula tanto en $p = 0$ como en $p = 1$ y alcanza su máximo entre medias, en $p = \dfrac{1}{e}$ . En teoría de la complejidad, la cota inferior de la ordenación por comparaciones es $n \log n$ , y esta función es precisamente ese ritmo de crecimiento.

Gráfica de la función y=xln⁡xy = x \ln xy=xlnx