Área con signo y valores absolutos

Una integral definida no es un área, sino un área con signo. Lo confirmamos integrando $y = x^3$ de $-1$ a $1$ .

\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0

La respuesta es $0$ . Y, sin embargo, la gráfica encierra a todas luces algo de área. En $0 \leq x \leq 1$ la curva queda por encima del eje $x$ y en $-1 \leq x \leq 0$ por debajo, y la parte inferior se contó como negativa y canceló a la otra.

Cuando lo que se quiere es un área

Se toma el valor absoluto antes de integrar.

\int_{-1}^{1} |x^3| \, dx = 2\int_0^1 x^3 \, dx = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Como $|x|^3$ es par, basta calcular la mitad derecha y duplicar.

Intervalo	$\int x^3 dx$	Área
$-1 \leq x \leq 0$	$-\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{4}$
$0 \leq x \leq 1$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{4}$
Total	$0$	$\dfrac{1}{2}$

Usar la simetría

Tipo de función	Integral en un intervalo simétrico
Impar	$0$
Par	el doble de un lado

$x^3$ es impar y $|x|^3$ es par, así que los dos cálculos anteriores son los casos típicos. Conocer la simetría acorta el trabajo.

Por qué el signo es una virtud

Llevar signo no es un defecto. Integrar una velocidad suma lo recorrido hacia delante y resta lo recorrido de vuelta, y deja el desplazamiento neto. Úsese el valor absoluto cuando se quiera un área, e intégrese tal cual cuando se quiera una variación neta.

Visto desde la primitiva

La primitiva $\dfrac{x^4}{4}$ de $x^3$ es par, así que toma el mismo valor en $x = -1$ y en $x = 1$ ; que la diferencia sea $0$ es lo esperable. La primitiva de $|x|^3$ , en cambio, es $\dfrac{x^4}{4}$ para $x \geq 0$ y $-\dfrac{x^4}{4}$ para $x < 0$ : la fórmula cambia con el intervalo.

Para hallar un área, búsquense primero los $x$ con $f = 0$ y pártase ahí el intervalo. Para esta función el punto de división es $x = 0$ .

La curva simétrica respecto del origen es $y = x^3$ , la curva simétrica respecto del eje $y$ es $y = |x|^3$ , y los puntos grandes son $(-1, -1)$ , $(0, 0)$ y $(1, 1)$ .