Foco y directriz de una parábola

Hallemos el foco y la directriz de la parábola $y = \dfrac{x^2}{4}$ ¹. Al reescribirla como $x^2 = 4y$ encaja en la forma $x^2 = 4py$ con $p = 1$ , así que el foco es $(0, 1)$ y la directriz es la recta $y = -1$ .

Equidistancia

Todo punto de la parábola equidista del foco y de la directriz.

Punto de la curva	Distancia al foco	Distancia a la directriz
$(0, 0)$	$1$	$1$
$(2, 1)$	$2$	$2$
$(4, 4)$	$5$	$5$

La definición da la ecuación

Esa equidistancia es, de hecho, la definición de parábola. Si un punto $(x, y)$ equidista del foco y de la directriz, se cumple lo siguiente.

\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = |y + 1|

Al elevar al cuadrado ambos miembros queda $x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$ ; los $y^2$ y los $1$ se cancelan y sobrevive $x^2 = 4y$ . La ecuación de una parábola no es más que esta equidistancia reescrita. Igual que una circunferencia se define por la igualdad de distancias a un centro, una parábola se define por la igualdad de distancias a un punto y a una recta.

Cuánto se abre la parábola

Los puntos $(2, 1)$ y $(-2, 1)$ son los extremos de la cuerda que pasa por el foco perpendicularmente al eje. Su longitud es $4p = 4$ , y mide con qué amplitud se abre la parábola: cuanto mayor es $p$ , más lejos queda el foco y más ancha resulta la curva.

Parábola	$p$	Foco	Directriz
$y = x^2$	$\dfrac{1}{4}$	$\left(0, \dfrac{1}{4}\right)$	$y = -\dfrac{1}{4}$
$y = \dfrac{x^2}{4}$	$1$	$(0, 1)$	$y = -1$

Por qué se llama foco

El nombre viene de la óptica. Todo rayo que llega paralelo al eje se refleja en la parábola y pasa por ese único punto².

Las antenas parabólicas y los telescopios reflectores reúnen en el foco los rayos paralelos
Al revés, una fuente situada en el foco emite rayos paralelos al eje
Así funciona el reflector que hay detrás de la bombilla de un faro o de una linterna

Los puntos grandes señalan el foco y los dos extremos de la cuerda que pasa por él.

Parabola, Wikipedia
Parabolic reflector, Wikipedia