Logaritmos de distintas bases

Comparemos tres logaritmos de bases distintas: $y = \log_2 x$, $y = \ln x$ e $y = \log_{10} x$. Cada uno está definido para $x > 0$ y vale $0$ en $x = 1$, así que todos pasan por $(1, 0)$. Sea cual sea la base, elevarla a la potencia $0$ da $1$, de modo que $\log_a 1 = 0$ se cumple siempre.

Dónde alcanza cada uno $y = 1$

Cada uno alcanza $y = 1$ cuando $x$ es igual a su base.

Cuanto menor es la base, más rápido es el crecimiento: $\log_2 x$ gana $1$ cada vez que $x$ se duplica, mientras que $\log_{10} x$ necesita multiplicar por diez para la misma ganancia.

La forma es idéntica

En realidad, las tres gráficas tienen exactamente la misma forma, porque la fórmula del cambio de base escribe todo logaritmo como múltiplo constante de $\ln x$.

Como $\log_2 x \approx 1.44 \ln x$ y $\log_{10} x \approx 0.434 \ln x$, las tres curvas son una sola estirada o comprimida verticalmente. En cualquier $x$, los tres valores guardan la razón fija $1.44 : 1 : 0.434$.

Propiedades comunes

Sus propiedades coinciden, por tanto. Los tres crecen de forma monótona, los tres divergen a $-\infty$ cuando $x \to 0^{+}$, los tres toman el eje $y$ por asíntota vertical y los tres pasan por $(1, 0)$. Solo cambia la escala vertical. Una base menor que $1$ le da la vuelta a todo: $\log_{1/2} x = -\log_2 x$ decrece en lugar de crecer.

Elegir una base

Los puntos grandes señalan el punto común $(1, 0)$ y los puntos $(2, 1)$ y $(e, 1)$ donde $\log_2 x$ y $\ln x$ alcanzan $y = 1$.