y = x + \sin x

Gráfica de la función $y = x + \sin x$

$y = x + \sin x$ es una recta con una onda superpuesta. Es el ejemplo habitual, en cálculo, de función cuya derivada se anula en ciertos puntos y que, sin embargo, no tiene extremos en ninguna parte.

Dominio y simetría

Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales. Como $f(-x) = -x - \sin x = -f(x)$ , la función es impar y la gráfica tiene simetría de rotación respecto del origen.

Monotonía

La derivada es la siguiente.

y' = 1 + \cos x

Como $\cos x \geq -1$ , siempre se tiene $y' \geq 0$ , así que la función crece de forma monótona. Se anula donde $\cos x = -1$ , es decir, en $x = (2n+1)\pi$ , pero son puntos aislados y el crecimiento no llega a detenerse.

Esta función muestra con claridad que una derivada nula no implica extremo: los valores siguen subiendo al pasar por $x = \pi$ , y lo único que se pone momentáneamente plano es la recta tangente.

Puntos de inflexión

La segunda derivada es $y'' = -\sin x$ , que cambia de signo en cada $x = n\pi$ . Los puntos de inflexión están, por tanto, en $x = n\pi$ , donde $y = n\pi + \sin n\pi = n\pi$ . Todos ellos, los puntos $(n\pi, n\pi)$ , están sobre la recta $y = x$ .

En los múltiplos impares de $\pi$ la tangente es horizontal, mientras que en los pares tiene pendiente $2$ , así que se alternan puntos de inflexión planos e inclinados.

Puntos destacados

$x$	$y$	Pendiente de la tangente
$0$	$0$	$2$
$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{2} + 1$	$1$
$\pi$	$\pi$	$0$
$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dfrac{3\pi}{2} - 1$	$1$
$2\pi$	$2\pi$	$2$

Para todo entero $n$ , el punto en $x = n\pi$ es $(n\pi, n\pi)$ .

Relación con la recta $y = x$

Como $y - x = \sin x$ , la gráfica oscila alrededor de la recta $y = x$ con amplitud $1$ , y la cruza en cada $x = n\pi$ .

La diferencia no tiende a $0$ , sin embargo, así que $y = x$ no es una asíntota, sino solo la línea central de la oscilación. El contraste con una asíntota oblicua de verdad, como en $y = x + \dfrac{1}{x}$ , donde la separación sí se desvanece, se ve aquí con facilidad.

Función inversa

Al ser continua, estrictamente creciente y suprayectiva sobre toda la recta real, la función tiene inversa definida para todo número real. En los puntos que corresponden a $x = (2n+1)\pi$ , donde $y' = 0$ , la gráfica de esa inversa tiene tangente vertical.

Curvas relacionadas

Cambiar el signo da $y = x - \sin x$ , la misma curva trasladada. Esa forma aparece como la coordenada $x$ de la cicloide¹.

\begin{align*} x &= a(t - \sin t) \\ y &= a(1 - \cos t) \end{align*}

Aplicaciones

La ecuación de Kepler $M = E - e\sin E$ se aproxima exactamente a esta forma para órbitas cuya excentricidad $e$ está cerca de $1$ ². Hallar la posición de un cuerpo a partir del tiempo exige resolver numéricamente una función creciente que, aun así, tiene puntos de pendiente nula, y ahí es justo donde el cálculo se vuelve delicado.

Cycloid, Wikipedia
Kepler's equation, Wikipedia

Gráfica de la función y=x+sin⁡xy = x + \sin xy=x+sinx