Intersección de una función cuadrática y una recta

Un punto donde la parábola $y = x^2$ se encuentra con una recta es un punto que está sobre la parábola y sobre la recta a la vez. En ese punto, el valor de $y$ que da la parábola y el que da la recta son exactamente iguales. Por eso, para hallar una intersección igualamos esos dos valores de $y$ y los reunimos en una sola ecuación.

Resolución de las intersecciones

Tomemos la recta $y = 2x + 3$ .

\begin{align*} x^2 &= 2x + 3 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ (x - 3)(x + 1) &= 0 \end{align*}

Así que $x = 3$ o $x = -1$ . Al llevar estos valores a la parábola se obtiene $y = 9$ e $y = 1$ , de modo que los dos puntos de intersección son $(3, 9)$ y $(-1, 1)$ .

Contar sin resolver

La idea clave es que el número de soluciones de la ecuación es el número de puntos de intersección. Ese número se puede averiguar con el discriminante $D = b^2 - 4ac$ de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ ¹. Es la parte que va bajo la raíz en la fórmula cuadrática, y su signo lo decide todo.

Discriminante	Soluciones	La recta y la parábola
$D > 0$	dos	se cortan en dos puntos
$D = 0$	una	son tangentes
$D < 0$	ninguna	no se cortan

Deslizar una recta de pendiente fija

Si se desliza hacia arriba y hacia abajo una recta de la misma pendiente, estos tres casos aparecen por turno: mientras la recta atraviesa la parábola por dentro hay dos cortes; al bajar, los dos cortes se acercan; en un instante se funden en un único punto en el que la recta es tangente; y más abajo la recta abandona por completo la parábola.

En la gráfica hay tres rectas de pendiente $2$ , y cada una da $x^2 - 2x - k = 0$ con discriminante $D = 4 + 4k$ .

Recta	Ecuación	$D$	Resultado
$y = 2x + 3$	$x^2 - 2x - 3 = 0$	$16$	dos cortes
$y = 2x - 1$	$(x - 1)^2 = 0$	$0$	tangente en $(1, 1)$
$y = 2x - 3$	$x^2 - 2x + 3 = 0$	$-8$	ningún corte

Los puntos grandes de la gráfica señalan los puntos de intersección y de tangencia.

Discriminant, Wikipedia